Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?

La médiane et la moyenne sont deux indicateurs statistiques qui reviennent régulièrement dans les sujets de DNB. À partir d’exemples simples, nous allons calculer la médiane et la moyenne. Enfin nous allons expliquer la différence entre les deux concepts.

Comment calculer une moyenne ?

Soit les nombres suivants : 10 – 12 – 11 – 5

Pour calculer la moyenne on fera :

\[ \overline{x} = {{10+12+11+5} \over 4}={38 \over 4}=9.5\]

Il s’agit de la somme des valeurs divisée par le nombre total de valeurs. Au niveau de la calculatrice, on fera attention à l’opération. Soit l’utilisation de la touche fraction, soit d’abord la somme puis la division ou les parenthèses. Sinon on fait le calcul suivant qui est faux :

\[ {10+12+11+{5 \over 4}}={33 + 1.25}=34.25\]

Pourquoi ? Tout simplement parce que c’est la division qui est prioritaire.

Calcul de la médiane avec un cas impair de valeurs

Soir la liste des valeurs suivantes : 5 – 15 – 12 – 7 – 7 – 9 – 8

La première étape consiste à trier les valeurs dans l’ordre croissant. Soit : 5 – 7 – 7 – 8 – 9 – 12 – 15

La médiane est la valeur centrale. Il y a 7 valeurs, la moitié de 7, c’est 3.5. Je vais prendre les trois premières valeurs et les trois dernières valeurs. 5 – 7 – 7 – 8 – 9 – 12 – 15. La valeur centrale, c’est 8, la médiane est donc de 8. Cela signifie que 50% des valeurs sont au-dessus de 8 et que 50% des valeurs sont au-dessous.

Calcul de la médiane avec un cas pair de valeurs

Soir la liste des valeurs suivantes : 5 – 15 – 12 – 7 – 7 – 9 – 8 – 18

La première étape consiste à nouveau à trier les valeurs dans l’ordre croissant. Soit : 5 – 7 – 7 – 8 – 9 – 12 – 15 – 18

Il y a 8 valeurs, la moitié de 8, c’est 4, on prend donc les 4 premières valeurs et les 4 dernières. 5 – 7 – 7 – 89 – 12 – 15 – 18. La valeur se situe entre 8 et 9. Intuitivement on se doute que la médiane est de 8.5. Néanmoins, dans le cas de deux nombres où trouver la valeur centrale est moins évidente.

\[ {{8+9} \over 2}={17 \over 2}=8.5 \]

Le calcul absurde, les dix souris et l’éléphant. Moyenne et médiane.

L'éléphant et la souris
L’éléphant et la souris

La moyenne est un concept assez facile à comprendre, notamment lorsqu’on parle des salaires moyens en France. D’ailleurs, on trouve souvent ce salaire élevé, essayons de comprendre pourquoi.

Prenons un cas absurde. Nous allons faire la moyenne de la masse de 20 souris qui pèsent chacune 30 grammes et de 1 un éléphant qui pèse 5 tonnes soit 5 millions de grammes. Pour calculer cette moyenne nous faisons (20*30+5 000 000)/21, car il y a 21 animaux, soit 238123 grammes par animaux, soit 238 kilos par animaux ce qui est une aberration pour une souris, même une grosse souris. On pourrait faire remarquer que mon exemple est mauvais, car j’ai mélangé des espèces différentes et c’est vrai, mais l’exemple montre que lorsqu’il y a quelque chose de trop gros ou de trop petit, la moyenne n’a plus de sens, on a donc besoin d’une nouvelle valeur mathématique, la médiane. 

La médiane de nos souris et de notre éléphant :

30 – 30 – 30 – 30 … 5 000 000, la médiane est de 30 c’est à dire que notre éléphant a été retiré naturellement du paquet.

Salaire médian ou salaire moyen ?

On comprend donc que dans certains cas la médiane a bien plus de sens que la moyenne et notamment pour le salaire des Français. Si je cherche à calculer le salaire moyen des Français, je prends tous les Français qui travaillent, j’ajoute leur salaire et je divise par le nombre de français qui travaillent. Cela signifie que les quelques milliardaires que nous avons en France, vont faire grossir le salaire moyen comme l’éléphant la masse des souris. Ces gens-là correspondent à des valeurs extrêmes et ne sont donc pas représentatifs. Si en outre, on calcule le salaire médian, on va trier du plus petit salaire jusqu’au plus gros élimant d’un côté les très petits salaires, de l’autre les très gros pour conserver une valeur sans les extrêmes.

Par conséquent, le salaire moyen est toujours plus élevé que le salaire médian, car les riches rajoutent leur poids dans la balance, si on veut comparer son salaire par rapport au reste des Français, il vaut mieux choisir le salaire médian que moyen.