Mesure expérimentale avec le théorème de Thalès

Quand on pense à une mesure expérimentale avec le théorème de Thalès, on pense à la pyramide. C’est une histoire que j’aime bien raconter aux élèves, car il y a fort à parier que ce soit faux. On trouve quelques textes assez intéressants à ce sujet, avec une multiplication de pistes. Déjà personne n’était là pour le vérifier. Les écrits ne font pas référence à une mesure de pyramide. D’un point de vue astronomique, seules deux dates sont compatibles avec une position de la pyramide par rapport au soleil pour réaliser la mesure. D’un point de vue historique et mathématique, on peut s’étonner que les mathématiciens égyptiens meilleurs que les Grecs ne soient pas en capacité de mesurer la pyramide.

Dans une activité qui se réalise avec peu de moyens, il ne s’agit pas de mesurer une pyramide avec son ombre, mais un mur d’escalade avec un balai.

Mesure expérimentale du mur d’escalade du lycée avec le théorème de Thalès. Théorie.

Voici l’idée. Un élève tient un balai parallèle au mur d’escalade. Son bras est parallèle au sol. Il ajuste la hauteur du balai de façon à ce que sa vision lui permette de voir le sommet du mur d’escalade.

Et maintenant la modélisation.

On va confondre l’œil et la tête globalement, puisque c’est expérimental. Le point A, c’est donc l’œil. Le point B c’est le sommet du balai, le point D, le sommet du mur d’escalade. La distance AC correspond à la distance entre le bras et le balai. La distance AE correspond à la distance entre l’élève et le mur d’escalade. Enfin, la valeur EF c’est la partie du corps de l’élève sous le bras.

Soit (BC) // (DE)

A, B et D sont alignés

A, C et E sont alignés

Alors d’après le théorème de Thalès

\[ {{ AB } \over { AD }} ={{ AC } \over { AE }} = {{ BC } \over { ED }} \]

On voit que le rapport entre AB et AD ne peut être mesuré puisqu’il faudrait voler !

En pratique

J’ai expliqué aux élèves la mesure. Sur la première photo, on voit assez facilement les différents éléments. Le bras de la jeune qui correspond à AC, la hauteur du balai à mesurer au-dessus de sa main qui correspond à BC. Enfin, la distance AE qui sépare l’élève du mur d’escalade trouvée avec des pas de 1m. Nous avons utilisé une règle de 20 cm pour déterminer les différentes longueurs, bras, haut du balai et corps de l’élève sous le bras.

Nous avons réalisé trois mesures.

Si on prend le cas de Ninon. Son bras mesure 50 cm, elle était située à 13.5 m du mur d’escalade. La hauteur du balai était de 28.7 cm. Enfin, la hauteur entre son bras et le sol de 1.40 m. On trouve ainsi une valeur d’environ 9.242 mètres. On notera que les hauteurs sont cohérentes.

Mon collègue de la technique dont la fille est dans ma classe est allé mesurer le soir au télémètre laser.

On voit que malgré le manque de précision et les moyens du bord, nous avons trouvé globalement la mesure à 50 cm par rapport à la moyenne des mesures.

L’exercice est intéressant, car il permet de mettre en applications de façon concrète un théorème. On notera toutefois, comme tout, que cette mise en œuvre expérimentale du théorème de Thalès est pulvérisée par la technique. Néanmoins, l’aspect ludique, rapide de la séance, avec des élèves qui maîtrisent les maths passe plutôt bien.

Cette petite histoire a inspiré mon camarade Odysseus Libre. Vous noterez que j’avais mon T-shirt Super Daddy pour la séance, ce n’était pas prévu mais toujours du plus bel effet !

One Comment

  1. Il y a une variante utilisant la parallaxe faisable en classe avec 1 carton ou un tapis de souris et 3 aiguilles par table :
    Faire un point au tableau, coller chaque tapis contre le coin inférieur gauche des tables élèves et planter une aiguille a peu près au milieu du tapis puis la seconde en visant avec un oeil au plus près du bord inférieur du tapis de façon à ce que les 2 aiguilles et le point au tableau soient alignés.
    Déplacer le tapis de l’autre côté de la table en mesurant la distance latérale et recommencer avec l’autre aiguille.
    Appliquer le théorème de Thalès pour déterminer la distance de la table au point du tableau

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