Remplacement 2021 – Antilles – Guyane – Polynésie

Au programme de ce sujet de remplacement 2021 – Antilles – Guyane – Polynésie. Des statistiques, une lecture de graphique, suite géométrique, tangente, dérivée.

Exercice 1 de Remplacement 2021 – Antilles – Guyane – Polynésie : statistiques

Il s’agit ici d’un simple calcul de moyenne de niveau collège.

\[ \overline x = {{8.2+7.8+5.9+4.6+4.3+3.2+3.6+4.9+5.8+7.9+6.8+7.8} \over 12} = 5.9 \]

Le site A est éliminé, la vitesse est inférieure à 5.9 m/s

On remarquera qu’à partir du moment où on ne s’intéresse plus au site A, mais au B et au C, c’est que le site A est éliminé conformément à la réponse 1. Il s’agit ici de faire les calculs en utilisant le module statistique de la Numworks. On remarquera que dans la première colonne, on utilise le centre de classe.

On voit que la vitesse est la même dans les exploitations B et C. Je trouve que c’est positif pour l’élève, car cela lui permet de se rendre compte qu’il a juste. Le seul paramètre qui intervient est alors l’écart type. On sait d’après le cours que plus l’écart type est faible, plus la situation est homogène. Par conséquent, c’est la situation C qu’on choisira car 2.51<3.

Exercice 2 : lecture de fonction

Voici typiquement le genre d’exercice qui va mettre en difficulté les élèves. Très textuel, trop. Moi-même, je ne suis pas forcément sûr de mon coup tellement on noie le poisson dans le texte.

  1. À priori, la vitesse de démarrage, c’est quand ça démarre. Le démarrage est entre 4 et 5 m/s. L’affirmation 1 est fausse.
  2. La vitesse nominale, c’est la vitesse pour laquelle on arrive au maximum de la puissance. Ce serait le début du plateau qu’on voit sur la courbe. Le début est ainsi à 16 m/s. L’affirmation 2 est erronée.
  3. Ici pas d’ambiguïté, la puissance nominale est à 1300 kW. La proposition 3 est fausse.
  4. Enfin, on voit qu’aux environs de 26 m/s, l’éolienne ne fournit plus de puissance, pas à 35 m/s. Ainsi l’affirmation 4 est fausse.

Quelqu’un de normalement constitué sera surpris d’avoir quatre affirmations fausses. C’est typiquement mauvais pour les élèves qui vont commencer à douter.

Exercice 3 : suite géométrique

1) Nous sommes spécifiquement dans le cas de la suite géométrique, puisqu’il est précisé qu’on passe d’un terme à l’autre en multipliant par 4. On notera que les inspecteurs ont profité de « l’opportunité » de la COVID pour faire un exercice. Je trouve que c’est une bonne chose, elle correspond au vécu des élèves. u0=5500 soit u1=5500×4=22000 et u2=22000×4=88000.

2) Il s’agit d’une suite géométrique de raison q=4 et de premier terme u0=5500.

3) Deux possibilités, le faire à la main ou utiliser la calculatrice, on va prendre la méthode courte avec le module suite de la Numworks.

On voit que c’est pour u4 qu’on franchit le million avec u4=1 408 000.

4) C’est une question qui s’est posée en classe, à savoir comment on répond à la question sachant qu’il y a déjà la réponse. Pour ma part, soit on utilise la formule des suites géométrique un=u0×qn en faisant le calcul, soit on note toutes les valeurs jusqu’au bon terme, u8.

5) Quasiment aucun élève avec qui j’ai fait le sujet n’a réussi à s’en sortir et pourtant la réponse est évidente. On arriverait au bout d’un certainement nombre de semaines à plus de 360 millions de consultations par jour. Or, il y a 65 millions de Français. Cela voudrait dire que chaque Français consulterait six fois par semaine. De la même manière, le modèle mathématique est en avance sur le modèle réel, il va trop vite. On ne demandait pas d’aller plus loin dans l’analyse, mais j’en ai profité pour rappeler aux élèves que le confinement, les gestes barrières et la vaccination ont cassé la dynamique de l’épidémie.

Exercice intéressant et important qui permet de distinguer un modèle réel d’un modèle mathématique.

Exercice 4 : dérivée, tangente, du cours, du cours et encore du cours.

Voici typiquement l’exercice sur lequel vont se planter les élèves. Pourtant, il est très simple, mais il nécessite de connaître son cours. J’avais fait les rappels nécessaires ici. On notera quand même que dans ce remplacement 2021 – Antilles – Guyane – Polynésie, l’exercice est noté sur 7 points ce qui ne pardonne pas.

1) f(10)=-0.08×103+1.58×10²+1.19×10=89.9 m. Par le graphique, on voit qu’on est aux environs de 90 m. Le résultat est bon.

2) D’après le graphique, aux environs de 6.3 s pour les 50 premiers mètres.

3) Pour les 50 derniers mètres, on va de 6.3 s à 11.3 s, soit 5 secondes. On peut donc dire que les 50 derniers mètres sont courus plus rapidement que les cinquante premiers. Ce qui est logique, le coureur accélère en fin de course.

4) f'(x)=−0,08×3x²+1,58×2x +1,19=-0.24x²+3.16x+1.19. On notera que plus loin dans l’énoncé, on retrouve une expression similaire. Ce qui veut dire que même un élève qui aurait « oublié » ses formules de dérivation peut s’en sortir avec un peu de jugeote.

5) Il est possible de trouver la vitesse de deux façons. Soit, on utilise la tangente TA. Approximativement, on voit 2 carreaux sur l’axe des y, 5 sur celui des x. Soit 20÷5=4 m/s. Soit on utilise la dérivée f'(1)=-0.24×1²+3.16×1+1.19=4.11 m/s

6) Pour cette question, on peut utiliser le calcul de dérivée à f'(7) mais les tangentes sont plus élégantes. On voit que la pente de TB est plus importante que TA par conséquent la vitesse est plus rapide en 7 qu’en 1.

7) a) La vitesse est égale à 10, soit -0.24x²+3.16x+1.19=10 et -0.24x²+3.16x-8.81=0

b) En utilisant le module équation de la calculatrice :

b) et c) Il apparaît que la vitesse a été atteinte en 4 secondes donc le départ du coureur est bon.