Fonction, dérivée, intégrale

Le BAC approche, nous sommes à deux mois de l’examen. Je finalise, au moment où j’écris ces lignes, le chapitre sur le calcul intégral. On a certains exercices de type QCM qui font de très bonnes synthèses sur la différence entre la fonction, la dérivée et l’intégrale. Ce type d’exercice met en échec l’ensemble de mes élèves qui ne travaillent pas.

On peut trouver ça raide, mais il est nécessaire de comprendre que le BAC PRO de l’enseignement agricole ne nécessite pas grand-chose. Un peu de réflexion, connaître l’utilisation de la calculatrice, savoir son cours. Et c’est sur ce point que ça coince.

BAC PRO 2014 : fonction, dérivée, intégrale

1) Comme j’aime à le rappeler à mes élèves, c’est du français. Qui est g ? g est la fonction, elle est représentée par le graphique. Ainsi, g(0) c’est la valeur de la fonction pour 0 soit graphiquement 3.

2) Il s’agit ici de déterminer g'(0). C’est ici qu’intervient le fait de connaître son cours. g'(0) c’est le nombre dérivé en 0. Je sais, d’après mon cours, que le nombre dérivé, c’est la valeur du coefficient directeur de la tangente en ce nombre. Comme par hasard :), on voit que nous avons une tangente au point d’abscisse 0. On l’exploite en faisant le triangle rectangle dessiné plus haut et la division -4÷2. Soit g'(0)=-2

3) Encore une fois, le français vient à notre secours. g(x)≥0 signifie la fonction au-dessus de 0. La courbe au-dessus de l’axe des x. Soit [-3;1]

4) On me présente une intégrale, je sais d’après le cours qu’une intégrale est une surface. C’est donc la surface entre x=-3, x=1, la courbe g et l’axe des abscisses.

5) Nous n’avons aucune possibilité d’utiliser la Numworks pour faire le calcul, on va donc devoir compter les carreaux pour trouver la valeur de la surface. On a une valeur inférieure et une valeur supérieure, voici la détermination. On voit bien comment sont obtenues les valeurs 6 et 14.

Les mêmes et on recommence

1) et 2) Mes élèves se sont retrouvés en échec face à ce type de question. Pourquoi ? Tout simplement parce qu’ils ne se rappelaient plus la définition d’image et d’antécédent. L’image par f de 1 c’est f(1) soit d’après le graphique 3. On notera comme par hasard un point B à cet endroit. L’antécédent c’est le contraire de l’image, on part de l’axe des y et pas de l’axe des x. Trouver les antécédents de -1 c’est aussi résoudre l’équation f(x)=-1 soit x=-1 et x=2

3) Résoudre f(x)=0 c’est trouver les endroits où la courbe est égale à 0. Donc les points d’intersection entre la courbe f et l’axe des abscisses. Soit 3 points d’intersection.

4) La question 4 est évidente si une fois de plus, on connaît son cours. On sait que l’équation d’une tangente est une fonction affine. Soit de la forme ax+b. b l’ordonnée à l’origine est commune aux trois solutions et on voit bien que la droite croise à 17 sur l’axe des ordonnées. Pour le reste, on pourrait utiliser la méthode des triangles mais c’est inutile. Il suffit de voir que la tangente au point A est décroissante. La seule formule qui répond à la question est y=-9x+17

5) Ici encore, nous sommes dans la définition pure et dure du cours. On voit qu’au point B, nous sommes à un maximum alors la dérivée est égale à 0.

6) Enfin on sait qu’une intégrale est une surface, elle correspond à ce que j’ai stabiloté ci-dessous.

En comptant les carreaux, on voit un carreau plein, avec le reste, on arrive environ à 2.5 carreaux. Sans ambiguïté possible, la valeur de l’intégrale est entre 1 et 3.

Que du travail

Ces deux exercices ne sont pas récents, ils datent de 2014. Pourtant, on a pu voir dans ces dernières années qu’ils pouvaient revenir de façon régulière dans les sujets du BAC parfois même contextualisé. Je trouve que ces exercices sont intéressants car ils permettent de faire la différence de manière graphique entre la fonction, la dérivée et l’intégrale. Le fait de ne pas pouvoir utiliser la calculatrice impose à l’élève d’avoir des connaissances. Les mathématiques à fortiori en BAC PRO agricole, ce n’est pas du génie mais du travail.

3 Comments

  1. Petit faute de frappe pour l’exercice 2 – Question 4, la réponse est y=-9x+17 (il manque le – devant le 9)

  2. Bonjour
    Coquille pour l’équation retenue de la question 4 de la 2e partie : y=-9x+17 (coefficient directeur négatif !).

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