Équation de la tangente en un point

On a vu dans un billet précédent la définition de la tangente. Je suis tombé sur un sujet de BAC qui m’a interpellé puisqu’on demande à l’élève de donner l’équation de la tangente sans lui donner la formule. Quelques explications.

Le BAC AVANT

Le BAC PRO de l’enseignement agricole a toujours été accompagné d’un formulaire. Il s’est réduit à une peau de chagrin ces dernières années. En même temps, les connaissances demandées sont plutôt « courtes » aujourd’hui. La question de l’équation de la tangente a plus ou moins disparu des sujets, on n’interrogeait que l’élève sur des graphiques avec des demandes sur le lien entre coefficient directeur et nombre dérivé. Il y a environ dix ans, les sujets étaient accompagnés de la formule suivante :

\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \]

On peut appliquer de façon triviale dans l’exemple suivant. Imaginons que nous cherchons l’équation de la tangente en x0=2 de la fonction f(x)=x2+4x-5. Il apparait qu’il est nécessaire dans un premier temps de faire le calcul de la dérivée. Soit f'(x)=2x+4. Nous avons désormais tous les éléments en place, il suffit de remplacer dans les différentes fonctions.

Nous cherchons y=f'(2)(x-2)+f(2). f'(2)=2×2+4=8 et f(2)=2²+4×2-5=7. En remplaçant, on obtient

y=8(x-2)+7=8x-16+7=8x-9. L’équation de la tangente est donc y=8x-9

Peu d’élèves étaient capables de réaliser ce travail qui ne présente pourtant aucune difficulté. Comme toujours en maths, il faut pratiquer régulièrement, ce qui n’est pas le cas des élèves de BAC PRO. Comme je l’ai dit en introduction, j’ai trouvé quelques sujets avec une demande d’équation de la tangente, mais sans l’équation …

Équation de la tangente avec la Numworks

On sait d’après nos inspecteurs que désormais tout ce qui peut se faire à la calculatrice, se fait à la calculatrice. On évalue le candidat sur d’autres choses, des raisonnements, de la logique. D’ailleurs, on ne va plus vraiment évaluer grand-chose, car à l’instar de l’éducation nationale, les mathématiques vont passer au contrôle continu. Le programme après la réforme reste sensiblement le même avec l’arrivée de Python. Fin de la parenthèse.

La Numworks est capable de calculer l’équation, et ça va très vite.

Dans le menu fonction, on tape la fonction, puis on se rend dans la section graphique

On appuie sur OK pour accéder au menu

Calculer

Tangente

Je me déplace à l’aide des touches gauche et droite. Je vois que a=8 comme je l’avais trouvé par le calcul et b=-9. La forme de l’affine étant y=ax+b, j’obtiens bien y=8x-9.

En conclusion, si on vous demande de déterminer l’équation de la tangente, sans formule, alors que des formules de dérivées sont données, c’est qu’on attend nécessairement une méthode par calculatrice. N’utilisant que la Numworks, je ne sais pas si les autres machines sont capables de le faire, mais cela signifie tout de même qu’il y a tout intérêt à avoir le bon outil le jour du BAC.