La somme des suites est typiquement le genre de parties de programme où l’on est content d’être en 2022 et d’avoir une calculatrice Numworks.
Rappel très rapide sur les suites arithmétiques et géométriques
Au programme du BAC PRO uniquement ces deux types de suite, vous pouvez trouver les chapitres complets ici :
Pour les suites arithmétiques, il est important de se souvenir que l’on passe d’un terme à l’autre en ajoutant la raison r. Attention, la raison peut être négative, si bien que les termes de la suite peuvent diminuer. Pour prouver qu’une suite est arithmétique, il suffit de soustraire deux à deux les termes en partant de la fin. Si on trouve toujours le même résultat, alors la suite est arithmétique.
Quand pour une suite arithmétique, on passe d’un terme à l’autre en faisant une addition, pour une suite géométrique, on passe d’un terme à l’autre par une multiplication. Si la raison q est plus grande que 1, les termes de la suite augmentent, si la raison q est plus petite que 1, elle diminue. Pour vérifier si une suite est géométrique, on divise les termes en partant de la fin. Si le résultat de chaque division est le même, il s’agit bien d’une suite géométrique.
Attention. On se rappellera que c’est le type de suite qui revient le plus souvent au BAC souvent en lien avec des augmentations ou des diminutions de pourcentage. Une augmentation de 20% c’est une raison q=1+0.20=1.20. Une diminution de 30% c’est q=1-0.30=0.70.
Somme des suites arithmétiques et géométriques
Imaginons la suite suivante,
On voit assez rapidement que c’est une suite arithmétique de raison r=200. Pour le prouver, il faut faire les soustractions suivantes et vérifier qu’on obtient bien 200.
Dans le cours, voici les formules des sommes des suites géométriques et arithmétiques.
Avant de comprendre pourquoi les formules sont complexes, il est surtout important de comprendre qu’il n’est pas nécessaire de sortir un marteau-piqueur pour tuer une mouche. Si on me demande la somme des cinq premiers termes de la suite, pourquoi utiliser une formule compliquée quand il me suffit de faire une addition. Soit 1000+1200+1400+1600+1800=7000. Une réponse simple et valable le jour du BAC.
Pourquoi la formule des suites est compliquée et particulièrement celle des suites arithmétiques ? Il apparait en effet que dans cette formule, vous avez un mélange entre le nombre de termes et le rang et c’est ce qui embrouille les élèves. Ainsi du fait d’avoir le décalage avec u0, le rang est de 4 mais le nombre de termes est de 5 puisqu’on additionne bien cinq termes. En appliquant la formule
On retrouve bien le même résultat qu’à la question précédente alors qu’on a fait une simple addition.
Si on regarde la somme des suites géométriques, on ne fait référence qu’au nombre de termes et pas au rang. Il y a donc encore une ambiguïté. En effet, si j’ai une suite géométrique de 5 termes, mais qui commence à u0 on aura S4 mais bien cinq termes. On rajoutera enfin que cette formule est problématique pour les élèves quand ils la tapent à la calculatrice. En effet, la grande fraction pose des soucis.
Particulièrement simple à la calculatrice.
Je vois la somme des suites en classe de terminale, c’est mon premier chapitre. Mon premier chapitre de première sont les suites arithmétiques, plus loin dans l’année de première, je vois les suites géométriques. De cette façon, l’élève revoit la notion de suite à trois moments dans le cycle du BAC. C’est d’autant plus important que chaque année les suites sont au BAC. L’élève donc maîtrise parfaitement les écrans suivants que je vous rappelle :
Au lieu d’aller dans tableau, on va cette fois-ci dans graphique puis on fait OK. Je fais somme des termes, je prends u0 pour premier terme et u4 pour dernier terme. De cette façon, je fais bien la somme des cinq premiers termes en tenant compte du décalage de u0
Comme on peut le voir dans la dernière image, la somme des termes est bien de 7000. Avec une suite géométrique, la procédure aurait été exactement la même. À la différence, à la création de la suite, on aurait fait une multiplication.
Je vous déconseille fortement d’utiliser les formules et de vous baser sur l’utilisation de votre calculatrice qui vous permet d’obtenir de manière simple les termes de la suite et la somme des termes.
