EGT – ensemble

Certains de mes anciens élèves de troisième de l’enseignement agricole viennent de passer en EGT. Forcément le choc est important et ce n’est qu’un début. Python à lui tout seul est à l’origine de nombreux découragements. La notion d’ensemble pose des problèmes par rapport à une certaine forme d’abstraction. Attention ce qui suit est de la vulgarisation à l’état pur, puristes s’abstenir.

Ensemble des entiers naturels. Attention, l’habit ne fait pas le moine.

Comme son nom l’indique l’ensemble des entiers naturels ne contient que les nombres entiers positifs. Soit 1, 2, 3, 4, 1000, 10000000, on aura compris. Pourquoi le titre de l’habit ne fait pas le moine car :

Sont aussi des nombres entiers naturels car la fraction est égale à 3 et la racine carrée est aussi égale à 3. 3 est bien un nombre entier naturel. On retiendra qu’il ne faut pas se fier à l’apparence mais bien simplifier au maximum pour avoir le résultat. C’est ce résultat qui permettra de déterminer l’ensemble.

Ensemble des entiers relatifs.

S’écrit :

Les entiers relatifs sont les nombres -1 ; -2 ; -3 ; -4 ; -1000000000 et bien sûr 1, 2, 3, 4, 1000, 10000000. On comprend alors que les entiers naturels sont à l’intérieur des entiers relatifs. On dit que l’ensemble est inclus dans l’autre ensemble, ce qui s’écrit :

On notera que le symbole d’inclusion ressemble à celui de l’appartenance. L’inclusion, c’est pour les ensembles, l’appartenance, c’est pour les nombres. On écrira par exemple que :

Par contre :

En effet, l’ensemble des naturels ne contient que des nombres positifs.

Décimaux et rationnels

Se notent :

On comprendra assez facilement que 2,4 est un nombre décimal ou encore 1,745. Comme on l’a vu plus haut, l’habit ne fait pas le moine, si bien que 3 qui peut sembler n’être qu’un entier est aussi un nombre décimal puisqu’on peut l’écrire 3,0. De la même manière -3 peut s’écrire -3,0, les relatifs sont aussi des décimaux.

On peut alors écrire :

Tous les nombres à virgule ne sont pas des nombres décimaux. Si on prend par exemple la fraction :

Est sans ambiguïté un nombre décimal. Par contre, la fraction suivante ne l’est pas :

Le fait d’avoir le 3 en illimité fait qu’il ne s’agit pas d’un nombre décimal mais d’un rationnel. On définit alors l’ensemble des nombres rationnels comme tout nombre pouvant se mettre sous la forme fractionnaire. Et d’après ce qui précède, on peut écrire :

Les réels

On pourrait penser qu’on a fait le tour des nombres et pourtant il en manque. Par exemple :

Ces nombres ne rentrent dans aucune catégorie précédente on dit que ce sont des réels. Les réels correspondent à l’ensemble de tous les nombres. Ainsi, on peut écrire la série d’inclusions suivante et le schéma de synthèse correspondant.