Les sujets tordus : remplacement 2019

Cet exercice fait clairement partie des sujets tordus. Et pour cause, il y a une dérivation qui n’est plus au programme et qui n’est pas donnée dans les formules… Quelques explications.

Blocage dès la première question

D’un point de vue théorique, la question 1a) ne pose aucune difficulté. Il s’agit de dériver la primitive pour retrouver la fonction initiale. Jusqu’ici tout va bien sauf que ce qui coince, c’est le 2xln(x). Il s’agit en effet d’un produit de deux fonctions x et ln(x). Ça on ne sait pas faire. Il faut utiliser la formule qui est la suivante :

\[ (u \times v)’=u’ \times v+u \times v’ \]

En français, la dérivée de la première fois la seconde fonction plus la première fois la dérivée de la seconde.

Ce qui veut dire que pour 2xln(x). u=2x et v=ln(x) soit :

\[ ((2xln(x))’=2 \times ln(x)+2x \times {1 \over x} \]

En se rappelant que la dérivée de ln(x) c’est 1÷x et que la dérivée de 2x c’est 2. L’expression ci-dessus devient :

\[ ((2xln(x))’=2 \times ln(x)+2x \times {1 \over x}=2ln(x)+2 \]

Si on fait désormais la dérivée de la primitive complète, on obtient :

\[ G'(x) =2 \times ln(x)+2x \times {1 \over x}-2=2ln(x)+2-2=2ln(x) \]

On a donc bien prouvé que G'(x)=g(x), G est donc bien une primitive de g.

La suite n’est pas dans les sujets tordus

Pour le 1b) on demande simplement de calculer l’intégrale. Ça va tout seul avec l’utilisation de la calculatrice.

2) Avec ce calcul intégral, nous venons de calculer la surface comprise entre 1 et 3.32. Il faut désormais, pour calculer la surface complète, trouver celle du rectangle. Soit 4-2.32=1.68. Et la surface 1.68×2.40=4.032. On ajoute à présent les deux surfaces : 3.3277+40.32=7.309. Avec l’arrondi, nous avons une surface de 7.3 m²

On peut aussi trouver une approximation rapide en considérant que la formule est un trapèze. Soit :

\[ {{(base+BASE) \times hauteur } \over 2}={{(4+1.68) \times 2.40} \over 2} =6.816 \]

La surface est plus petite car le segment [AD] est à l’intérieur par rapport à la courbe.

3) Question mesquine, si en effet l’élève n’a pas été capable de trouver la surface, il ne peut pas répondre à cette question. 1681 bouchons pour 1m² soit 7.3×1681=12271 bouchons.