Collège : trigonométrie. Côté avec un angle et un côté

La trigonométrie est pour ma part l’un des chapitres les plus compliqués de la classe de troisième. Même si rien n’est compliqué en troisième, il demande un travail de mémoire. Comme toujours, il faudra répéter très souvent pour arriver à la maîtrise.

Étape fondamentale : déterminer a, o et h

a pour adjacent, o pour opposé et h pour hypoténuse. On connaît l’hypoténuse pour l’avoir déjà vu dans le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, c’est l’hypoténuse, il est toujours en face de l’angle droit.

Trouver l’opposé et l’adjacent n’est qu’une histoire de contexte. Prenons un exemple.

On voit que dans l’énoncé, on m’a donné pour valeur 49° pour l’angle Â. On va donc travailler à partir de cet angle. De façon simple, [AD] est l’hypoténuse car il est en face de l’angle droit. Le côté opposé est le côté en face de  c’est ainsi [CD], le côté [AC] est l’adjacent. Illustration avec des flèches

Autre exemple ci-dessous. Assez facilement, on voit que [RA] est l’hypoténuse. Comme on nous a donné l’angle R̂, on prend [AI] pour côté opposé, car il est en face. [RI] est donc le côté adjacent.

Les trois formules de trigonométrie

Pour le brevet professionnel et donc agricole, les trois formules sont systématiquement données. Elles ne sont alors pas à apprendre par cœur.

\[ cosinus \; \widehat {angle} = {adjacent \over hypoténuse} \] \[ sinus \; \widehat {angle} = {opposé \over hypoténuse} \] \[ tangente \; \widehat {angle} = {opposé \over adjacent} \]

On va se rendre compte que ce n’est pas bien compliqué à utiliser à partir du moment où on a su placer les côtés opposé, adjacent et hypoténuse.

Trouver la bonne formule de trigonométrie.

Dans cet exercice, on demande de trouver, de façon systématique, la longueur SO. On va dans un premier temps placer l’hypoténuse, l’opposé et l’adjacent. On rajoutera aussi un point d’interrogation sur le côté cherché.

Voici le schéma modifié. On notera que j’ai entouré pour chaque figure, les côtés pour lesquels j’avais une indication. Soit une valeur donnée, soit une valeur cherchée.

  • Figure a. Il apparaît que j’ai le a et le h, la formule correspondante c’est le cosinus car c’est la seule formule avec a et h
  • Figure b. On voit que j’ai le a et le o, la formule correspondante c’est la tangente car c’est la seule formule avec a et o
  • Enfin pour la figure c. J’ai le o et le h, il s’agira du sinus.

Calculer le côté manquant

On a vu que pour la figure a c’est cosinus soit :

\[ cos \; \widehat S={a \over h} \] \[ cos \; \widehat S={SO \over SL} \] Je remplace \[ cos \; 27°={SO \over 5.5} \]

Utilisation de la calculatrice :

Je fais un produit en croix avec la valeur que je viens de trouver, je mets 1 sous cette valeur. Soit :

0.89SO = 0.89×5.5÷1=4.895
15.5

Je refais le même travail avec la figure b. Nous avions vu qu’il s’agissait de la tangente.

\[ tan \; \widehat O={o \over a} \] \[ tan \; \widehat O={SL \over SO} \] Je remplace \[ tan \; 56°={7 \over SO} \]

À la calculatrice je trouve que tan 56°=1.482. Je refais un tableau de produit en croix.

1.4827
1SO=7×1÷1.482=4.72

Enfin, pour la figure C il s’agissait du sinus. Soit

\[ sin \; \widehat O={o \over h} \] \[ sin \; \widehat O={SL \over SO} \] Je remplace \[ sin \; 83°={5 \over SO} \]

À la calculatrice je trouve que sin 83°=0.99. Je refais un tableau de produit en croix.

0.995
1SO=5×1÷0.99=5.05

En conclusion

Trouver un côté à partir d’un angle et d’un côté n’est pas compliqué, il faut toutefois être rigoureux.

  • Il est important de commencer par trouver qui est l’opposé, l’hypoténuse et l’adjacent
  • Il faut entourer sur la figure le point d’interrogation et la lettre a, o ou h, la valeur qu’on me donne et a, o ou h
  • Avec les deux parties entourées on trouve la formule
  • On écrit la formule, on remplace par les lettres des côtés puis les valeurs des côtés.
  • La calculatrice nous permet de trouver la valeur du cosinus, du sinus ou de la tangente.
  • On finit avec un produit en croix.

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