On est un peu au-dessus du niveau attendu par rapport au DNB PRO, néanmoins ces quelques exercices sur les fonctions peuvent être intéressants. Ils restent faisables. J’ai fait le choix pour cette année 2021 de prendre trois problèmes bien différents. Le premier est classique avec les trois types de fonctions mélangées, le second avec une courbe et le dernier avec le calcul de la pente.
Fonctions, centres étrangers
Avant même de démarrer le problème, un coup d’œil au graphique nous permet de voir qu’on a :
- Une fonction affine qui va passer aux environs de 100 (d3)
- Une fonction constante qui sera environ égale à 450 (d1)
- Enfin une fonction linéaire qui passe par 0 (d2)
1) Compléter le tableau ne pose pas de problème particulier, on commencera par faire la dernière ligne qui est la plus simple, 448.50€ partout. La formule A, il suffit de multiplier par 36.50€. Plus complexe, pour la formule B, on multiplie par 18.50 le prix de la journée, puis on additionne 90€ pour l’abonnement.
| Nombre de journées de ski | 2 | 6 | 10 |
| Formule A | 73€ | 6×36.50=219€ | 10×36.5=365€ |
| Formule B | 127€ | 6×18.5+90=201€ | 10×18.5+90=275 |
| Formule C | 448.50€ | 448.50€ | 448.50€ |
2) a) D’après le cours, h(x)=36.5x est une fonction linéaire, elle correspond à une situation de proportionnalité.
b) A correspond à h(x), B correspond à f(x), C correspond à g(x)
Résolution d’équation
c) A et B identiques, c’est la résolution de 36.5x=90+18.5x. Au niveau de l’enseignement agricole ou professionnel, on demanderait simplement une justification par le graphique, soit l’intersection. La résolution de l’équation pour un élève de troisième PRO / Agri, ne pose pourtant pas de problème.
Graphiquement, on peut vérifier que le croisement des tarifs A et B se fait bien à 5.
Exploitation du graphique
3) a) l’association entre les fonctions et les droites est triviale. Elle correspond à ce que j’évoquais plus haut. d1 correspond à g(x) c’est la fonction constante. d2 est la fonction h(x), c’est la fonction linéaire, la droite passe par 0. Enfin d3 correspond à f(x) c’est la fonction affine.
b) et c) 12 journées avec le tarif B. Le tarif C devient intéressant à partir de 20 journées.
Polynésie
1) Il apparaît avant même d’avoir démarré le problème qu’on a pour le tarif A une fonction linéaire, ce n’est pas le cas pour la B. En effet, ce n’est pas une droite, c’est une courbe. Pour 200 tours on va payer 500 € pour le A, avec un budget de 1300 € on va avoir 600 tours.
2) Le tarif A est une droite qui passe par 0, c’est une fonction linéaire et c’est donc une situation de proportionnalité. Le tarif B est une courbe, ce n’est pas une situation de proportionnalité.
3) a) f(100)=250, on a donc une multiplication par 2.5. L’expression de la fonction est f(x)=2.5x. Sur un DNB PRO, on aurait demandé d’entourer une bonne réponse parmi trois propositions.
b) f(1000)=2.5×1000=2500. Il suffit de rajouter un 0.
4) Très rapidement, il apparaît qu’on a un « abonnement » de 150 € et qu’on est à 2€ la statuette. Il s’agit d’une fonction affine.
a)
| Nombre de tours Eiffel | 1 | 100 | 200 | 1000 | x |
| Prix payé en euros avec le fournisseur C | 152 | 350 | 200×2+150=550 | 1000×2+150=2150 | 2x+150 |
b) Difficile pour un niveau PRO néanmoins, c’est jouable. Tarif C = 580. 2x+150=580 soit une équation simple à résoudre
c) 2.5x c’est le tarif A. On remarquera que c’est la réponse attendue plus haut. Et 150+2x c’est bien la fonction affine qu’on attendait dans le tableau
Les deux tarifs sont égaux pour 300 tours Eiffel.
Amérique du Nord
L’exercice est assez particulier, car il faut faire des aller-retours entre le tableau du départ et le graphique. L’élève pourrait être perturbé parce qu’il serait tenté d’utiliser l’un ou l’autre.
1) Il est noté qu’on le fait avec la précision autorisée, on supposera donc que le correcteur sera indulgent. Par exemple, pour la première question, le premier changement est à 14 minutes environ.
2) On peut utiliser le graphique, mais ce n’est pas le plus précis. Le tableau et l’énoncé permettent d’avoir la valeur exacte. 12.9 km d’épreuve totale soit 12.9-2.5-0.4=10 km. On remarquera qu’il était nécessaire de convertir les 400 mètres de natation en km.
3) On peut supposer que l’athlète démarre à 44 minutes et qu’il finit à 56 ou 57 minutes. Soit environ 12 à 13 minutes.
4) Il s’agit ici d’une question de bon sens, forcément, c’est la natation qui est l’épreuve la moins rapide. Mathématiquement, on peut le prouver avec la pente. C’est la première partie, la natation qui a la pente la moins importante. Ainsi, c’est la natation, la partie la moins rapide.
5) Il s’agit ici de calculer une vitesse moyenne. L’épreuve dure environ 56 minutes pour une distance de 12.9 km. Pour avoir une vitesse en km par heure, il est nécessaire de convertir les minutes en heures. Soit : 56÷60=0.93 h approximativement.
La vitesse moyenne est donc inférieure à 14 km/h
