Les sujets tordus : BAC 2019 Nouvelle-Calédonie

Le BAC se rapproche à grand-pas. Les écrits pour les mathématiques sont au début du mois de juin, c’est tôt. Je viens d’achever le chapitre sur les intégrales et les primitives, nous sommes donc en plein dans les sujets. Le BAC a fortement évolué ces dernières années et pas dans le sens des élèves. Comprenez qu’on demande désormais davantage de réflexion aux élèves et parfois des questions simples qui les plantent. Des pourcentages, des calculs de surface et même du Pythagore.

Cette partie de sujet est particulièrement problématique, je vais expliquer pourquoi. Je vais aussi expliquer comment réagir le jour du BAC quand on est face à la catastrophe.

Un exercice de BAC qui démarre mal

Beaucoup de baratin, la première question ne pose pas de problème, il suffit d’utiliser sa calculatrice, de compléter le tableau et de tracer la courbe.

Et là, c’est le drame. Il est demandé de déterminer une équation de la tangente. C’était une question qui était très classique… il y a dix ans. De plus, à l’époque, on donnait la formule qui permettait de faire le calcul de l’équation. Si on regarde du côté du formulaire, on a ça :

Trouver l’équation d’une tangente

Voici pour ma part ce qu’il faut faire et qu’à mon avis aucun élève n’a fait lors de cette cession. En effet avant d’arriver à l’équation de la tangente, l’élève est guidé par un ensemble de calcul. On laisse le jeune se débrouiller comme s’il s’agissait d’une évidence.

La formule de l’équation de la tangente est donnée par la relation. Comme la formule n’est pas donnée, cela laisse supposer que l’élève la connaît par cœur.

\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \]

x0 c’est la valeur pour laquelle on a la tangente. C’est une tangente en 1. L’expression devient alors :

\[y=f'(1)(x-1)+f(1) \]

On va transformer l’expression en :

\[y=f'(1)(x-1)+0.35 \]

Le 0.35 est issu du tableau de valeurs. On voit qu’on a besoin de f'(1) ce qui veut dire qu’il est nécessaire de calculer la dérivée. Comme je le faisais remarquer plus haut, à l’époque on aurait guidé l’élève en lui faisant calculer la dérivée. Ce n’est pas du tout le cas ici. Calculons la dérivée :

\[f'(x)=-2 \times 2.6 e^{-2x}=-5.2 e^{-2x} \]

On en déduit alors :

\[f'(1)=-5.2 e^{-2 \times 1}=-0.70 \]

Ce qui en remplaçant dans l’équation plus haut donne :

\[y=-0.70(x-1)+0.35 \]

Je développe :

\[y=-0.70x+0.70+0.35 \] \[y=-0.70x+1.05 \]

On a une fonction affine qui va passer sur l’axe des ordonnées à 1.05 (ordonnée à l’origine). Il apparaît sur le graphique que la fonction est bien tangente à la courbe.

Sauf qu’aucun élève ne connaît l’équation de la tangente !

On est donc le jour de l’examen et on ne sait pas calculer l’équation d’une tangente. Par contre, on sait tracer une tangente. Concrètement, l’élève sait tracer la tangente en 1 et trouver son coefficient directeur de la façon suivante :

L’élève de façon approximative aurait trouvé l’équation y=-0.66x+1. Pour ma part, je pense que face à la « difficulté » de la question, tout élève qui aurait donné une équation approximative de la tangente aurait obtenu un maximum de points.

Trouver le niveau de difficulté

Ici encore, je trouve la question complexe. Une première partie peut être éliminée facilement. Il ne peut pas s’agit de la piste débutante. En effet, la hauteur maximale est de 2.6, la condition c’est d’avoir une valeur inférieure à 1.5 m.

Reste à trancher entre le niveau confirmé et expert. La condition sur la hauteur de 3 mètres est respectée dans les deux cas. Il est donc nécessaire de regarder du côté de la pente. La pente est définie comme étant le coefficient directeur de la tangente. Par conséquent, c’est le nombre dérivé. Nous avons calculé la dérivée. Il suffit de calculer en 0 et 2.5

Soit :

\[f'(0)=-5.2 e^{-2 \times 0}=-5.2 \] \[f'(2.5)=-5.2 e^{-2 \times 2.5}=-5.2e^{-5}=-0.035 \]

Comme on l’a vu précédemment, ça laisse supposer qu’on a pensé, su calculer la dérivée. Mais dans le cas où l’on n’a pas réussi, il est toujours possible de s’en sortir encore avec une tangente. On prend un endroit où la pente est importante. Il apparaît qu’elle est de -5 dans le cas ci-dessous, on est donc encore dans le cas expert.

On notera que c’est assez mauvais puisque la pente ne redécollera pas pour remonter vers 5.5. Elle va en effet s’écraser pour aller à 0. Il faut alors comprendre qu’on a une moitié de mur et que ça remonte de l’autre côté, une symétrie.

Conclusion de ce morceau de BAC

Difficile, trop difficile. Cet exercice pose plusieurs problèmes :

  • La formule de la tangente n’est pas donnée.
  • On ne demande pas à l’élève de calculer la dérivée, il est en totale autonomie.
  • Cette dérivée est pourtant au cœur du problème puisqu’elle est réutilisée pour déterminer le niveau de difficulté
  • Mis en échec sur cette partie de problème, l’élève n’ira peut-être pas chercher la partie B qui est pourtant triviale.
  • L’exercice est sur 9 points, c’est considérable pour un sujet d’examen.

On verra que malheureusement durant ces dernières années, ce n’est pas le seul qui pose un problème.