Pour pouvoir comprendre la notion d’intégrale, il est nécessaire d’avoir vu le chapitre sur les fonctions primitives. Avoir la calculatrice qui va bien est aussi une nécessité.
Une intégrale, deux primitives comme les autres
Soit la fonction f(x) définie par :
Il s’agit de la fonction que j’avais utilisée la dernière fois pour le cours sur la primitive. Sa primitive est donc :
Prenons par exemple l’intégrale suivante.
Il s’agit en fait de la soustraction entre la valeur de la primitive du haut et du bas soit :
Soit
On se rappellera donc que le calcul intégral, c’est tout simplement la primitive du haut moins la primitive du bas.
Mais ça c’était avant
Les calculatrices ont très fortement progressé, le calcul est désormais réalisé directement à la machine. Avec la Numworks, il suffit de faire les écrans suivants. À noter que pour atteindre la boîte outils il faut appuyer sur la touche avec « paste » écrit en orange.
On retrouve bien le résultat que j’ai trouvé en faisant la soustraction ci-dessus. On pourrait me faire remarquer qu’il est inutile de faire la soustraction entre les deux valeurs de la primitive. Oui la calculatrice le fait mais on perd alors le lien entre l’intégrale et la primitive. Je continue donc d’enseigner ceci pour que l’élève comprenne qu’on ne lui fait pas calculer des primitives pour rien. Dans les vieux problèmes de BAC c’est la méthode qui est demandée. En effet, à l’époque, comme les calculatrices ne le faisaient pas, il fallait bien trouver la valeur. Aujourd’hui on insiste davantage sur le sens géométrique de l’intégrale.
Le sens géométrique de l’intégrale
Voici la courbe f(x) tracée dans un repère. Je rappelle que je fais l’intégrale de 0 à 1.
On excusera mon talent artistique pour la manipulation. J’ai délimité la zone entre la courbe, l’axe des abscisses de 0 à 1. Si on compte les carreaux à l’unité, on se rend compte qu’on en a environ 6. On se rappelle que nous avions trouvé plus haut -6.17.
On comprend assez facilement qu’une intégrale, c’est une surface.
Deux remarques :
- La notion d’unité est fondamentale. La plupart des élèves ont tendance à vouloir compter les carreaux, c’est parfois faux. Il faut compter les carreaux d’unité, c’est-à-dire le rectangle de dimension 1 par 1. Par exemple dans mon graphique, l’unité c’est 4 petits carreaux. Donc tous les 4 petits carreaux, on a 1.
- La valeur négative s’explique par le fait que la surface soit sous la courbe. C’est donc une surface algébrique. La plupart du temps comme les problèmes sont concrets, la valeur est positive.
Vérification à la calculatrice.
On va dans le module fonction de la calculatrice et saisit la fonction f(x). Pour accéder à calculer sur le graphique on fait OK.
Attention pour la valeur 0 et 1, on pourrait être tenté de se déplacer avec les flèches, selon l’unité cela ne marche pas. La calculatrice va parfois compter de 1 en 1 ou de 0.2 en 0.2. Il suffit donc de faire 0, exécute puis 1.
Une erreur commune
Souvent les élèves se trompent entre f(x) et F(x). En fait il suffit de lire ce que demande la calculatrice. On voit bien que c’est f(x) qui est demandée et pas F(x). On se rappellera façon synthétique que :
- f(x) sert à trouver le tableau de valeurs, à résoudre les équations, à exploiter le graphique. C’est elle qui permet de trouver f'(x) et F(x)
- f'(x) la dérivée sert à trouver le sens de variations de la fonction, la valeur exacte du maximum ou du minimum. Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente. Si vous avez une tangente il y a fort à parier qu’on vous demande f’ de quelque chose.
- Enfin F(x) c’est la primitive, elle ne sert plus à grand-chose mais on demande de la calculer ou de prouver que c’est une primitive de f.
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