La primitive et le calcul intégral correspondent au dernier chapitre de terminale dans ma progression. Avec les années, les problèmes de BAC ont pas mal évolué du fait de l’utilisation de la calculatrice. Nous le verrons principalement pour l’intégrale. Pour comprendre la notion de primitive, il faut impérativement savoir dériver une fonction et avoir un peu le sens de l’imagination.
Rappel sur la dérivée
On donne une fonction f(x), la dérivée, c’est f'(x), une primitive, c’est F(x). Il est important de bien noter cette différence d’écriture. Soit la fonction f(x) telle que :
Sa fonction dérivée sera alors :
Il est important de comprendre que la puissance a diminué de 1. Par exemple, le x2 devient x1, c’est-à-dire x. De la même manière pour le 3x, c’est l’équivalent de 3x1 en abaissant de 1 la puissance cela devient 3x0 et x0=1 ce qui explique le 3. Prenons un exemple plus explicite. Soit la fonction g(x) telle que :
La fonction dérivée sera alors :
Si on suit le raisonnement précédent. La puissance 4 est bien devenue 3, la puissance 3 est bien devenue 2, la puissance 2 est bien devenue 1 et la puissance 1 est bien devenue 0.
On retiendra donc que l’action de dériver entraîne une diminution de 1 de la puissance.
Une primitive ou la dérivée à l’envers.
La fonction primitive F(x) est la fonction telle que F'(x)=f(x). Concrètement si je dérive une primitive je tombe sur la fonction de l’énoncé. Il faut donc se poser la question suivante : quelle est la valeur qui si je la dérive me donnera f(x).
Si vous avez compris le raisonnement pour la dérivée avec une diminution de 1, une primitive c’est l’augmentation de 1. Si on prend alors la fonction f(x) du début. Le x2 va devenir x3 et le x1 va devenir x2 et le -8 va devenir -8x. En effet, si on dérive -8x on trouve bien -8.
On serait donc tenté d’écrire :
Sauf que c’est faux. Souvenons-nous que si je dérive une primitive j’obtiens la fonction. Dérivons !
Il apparaît que j’ai un décalage dans les coefficients. Pour x3 j’ai un 3 de trop pour x2 j’ai un 2 de trop. On en déduit alors assez facilement qu’il faut diviser par le chiffre de la puissance soit.
On peut alors faire une primitive de la fonction g(x). Soit
Pourquoi la dérivée mais une primitive ?
Comme on a pu le voir j’emploie de façon systématique l’indéfini en précisant une primitive et pas la primitive de f(x). Une petite explication. Soit la fonction f(x) telle que :
Les fonctions F(x), J(x) et K(x) sont toutes les trois des primitives de f(x)
En effet si je dérive les trois fonctions, le +5, le +150 et le -1000 disparaissent, on retrouve bien la fonction f(x) donnée à l’origine. On ne parle donc pas de la primitive mais d’un ensemble de primitives, il y en a bien sûr une infinité. Pour généraliser le +5, le +150 et le -1000 on met +k.
Tableau des primitives usuelles
Voici le tableau tel qu’il est donné au niveau du BAC dans les exercices. On remarquera que si l’élève n’a pas vraiment compris le principe, certaines formules risquent d’être compliquées pour lui. Je pense notamment au xn qui correspond au x2, x3, x4 et ainsi de suite. Il y a donc tout à gagner à savoir manipuler les primitives ou comprendre le fonctionnement des formules. On notera de la même manière l’ajout du +k qui correspond à la distinction faite au paragraphe précédent.
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