Collège : résolution des équations

La résolution des équations est une des leçons les plus complexes pour les élèves. Deux problèmes se posent : l’aspect technique de la résolution, la mise en équation. La mise en équation, c’est la traduction d’un problème en français en mathématiques, ce qui fait ressortir d’autres lacunes chez les élèves. Pour le DNB PRO, la résolution des équations purement technique est revenue dans certains sujets alors qu’elle avait été abandonnée.

Pour comprendre les équations la balance de Roberval.

La balance de Roberval fait partie des objets qu’on trouve chez les grand-parents ou dans les vides greniers. Comme on peut le voir la balance est à l’équilibre au départ.

Si je rajoute 5 à gauche je dois rajouter 5 à droite pour maintenir l’équilibre. De la même manière, si je rajoute 5 à droite, je suis forcé de rajouter 5 à gauche. Enfin, si je retire 10 à gauche, donc -10, je dois faire -10 à droite pour conserver l’équilibre. Réciproquement -10 à droite m’oblige à faire -10 à gauche.

Nous partirons du principe qu’une équation est une balance.

Un peu de français pour résoudre un problème mathématique

Voici un exemple d’équation 7x+8=2x+23. La partie de gauche 7x+8 correspond au membre de gauche, c’est le plateau de gauche. Ensuite la partie 2x+23 correspond au membre de droite, c’est le plateau de droite. L’égal signifie qu’il y a un équilibre.

À la fin de l’équation, je cherche à trouver la valeur de x qui est l’inconnue. Je veux donc arriver à x=un nombre.

Regardons notre équation. Pour arriver à x=un nombre je me rends compte de deux choses. Le +8 n’est pas à sa place, je cherche x= et pas x+8=. Je dois donc éliminer le 8. De la même manière le 2x est sur le plateau de droite, je veux qu’il soit sur le plateau de gauche.

Ainsi pour supprimer +8 je vais faire -8 et comme c’est une balance je vais le faire à gauche et à droite. L’équation devient alors

7x+8-8=2x+23-8

Le +8 et le -8 de droite se suppriment, je peux combiner le 23-8. L’équation devient

7x=2x+15

Comme je l’ai écrit au-dessus, le 2x est mal placé, pour supprimer le 2x de droite, je fais -2x mais comme c’est une balance, je le fais à gauche et à droite. L’équation devient :

7x-2x=2x+15-2x

En supprimant les 2x de droite et en combinant le 7x-2x l’équation devient :

5x=15

Il faut encore raisonner en utilisant le français. 5x=5×x. Je ne veux pas 5x mais je veux un seul x. Je vais donc diviser à gauche et à droite par 5 pour obtenir le résultat.

Bonus : n’oublions pas les fonctions affines

Il est important de se rappeler que 7x+8 et 2x+23 correspondent à des fonctions affines. Ainsi si je trace les deux fonctions dans un repère, j’obtiens deux droites qui ne passent pas par 0. Au croisement de ces deux droites cela signifiera que 7x+8=2x+23. On vérifie bien qu’on retrouve 3.

Spécial lycée : merci la Numworks !

Il apparaît que la résolution des équations est rarement maîtrisée quand je récupère les élèves en classe de première. Si je remontre la résolution des équations, je ne m’attarde pas dessus comme je le ferai en classe de 3ème. Il faut en effet avancer sur le programme et ne pas refaire le collège. La calculatrice Numworks propose le module équation. Vous pouvez très rapidement résoudre en suivant les écrans suivants.

On vérifie à nouveau que la solution est bien 3.