Lycée : exponentielle

La fonction exponentielle est de la même manière que le logarithme, une nouveauté de la classe de terminale. Il faut dire que les deux fonctionnent ensemble, la fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques, c’est-à-dire que les effets de l’une annule les effets de l’autre.

Concrètement si je fais le calcul ln(e2) j’obtiens 2 et de la même manière si je fais eln3 j’obtiens 3. Il y a quelques années, ces propriétés étaient fondamentales, ce n’est plus vraiment le cas. En effet, elles étaient indispensables pour la résolution des équations, aujourd’hui ce sont les calculatrices qui font le travail. On retiendra donc ce lien entre les deux fonctions qui se traduit graphiquement par un axe de symétrie dans les représentations graphiques.

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Ce qu’il faut savoir

Comme pour le logarithme, l’élève doit maîtriser la notion de dérivée, de tableaux de variations, savoir manipuler sa calculatrice. Les particularités de la fonction exponentielle sont les suivantes :

  • L’exponentielle existe pour tout x contrairement à ln qui n’existait que pour les nombres positifs non nuls.
  • e0=1 qui correspond au ln(1)=0
  • L’exponentielle est toujours positive. Ce qui veut dire que si vous avez e-3x ou e-12x-5 vous pouvez mettre n’importe quelle valeur de x à l’intérieur, vous obtiendrez toujours un résultat positif.
  • La dérivée de ex c’est ex. Ce n’est pas une faute de frappe, la dérivée de la fonction exponentielle de x, c’est elle-même.
  • En outre pour une fonction de la forme eax la dérivée est aeax. Concrètement la dérivée de e-3x c’est -3e-3x et la dérivée de e32x c’est 32e32x.

Comme souvent, il n’y a pas de difficulté particulière, seulement du cours à apprendre et appliquer.

BAC PRO, exponentielle sujet classique

Quelques secondes de réflexion avant de se lancer dans ce sujet. L’étude va porter sur la longueur du bras télescopique et son lien avec la masse. Il est fort à parier que plus le bras sera tendu, plus la masse doit être légère. Pourquoi ? Tout simplement parce qu’il y a un risque de déséquilibre et que le tracteur se retourne. C’est l’effet de levier.

1) et 2) d’après les propriétés des exponentielles, e est toujours positif

3) Si la constante est négative on aurait alors un nombre négatif que multiplie un positif, soit un nombre négatif. Une masse ne peut pas être négative, la constante doit être positive (+ × + = +)

4) k=2950e0.5×2 en remplaçant m et d par les valeurs de l’énoncé. Soit k=8019 environ.

5) J’ai déjà répondu à la question 5. Effectivement plus la longueur d est grande plus la charge m doit être petite si on ne veut pas jouer à la catapulte :). On notera que la valeur de 8000 se rapproche de la valeur que nous avons trouvée à la question 4

6) f'(x)=-0.5×8000e-0.5x=-4000e-0.5x. On voit bien que le -0.5 est passé devant, par définition du cours comme nous l’avons vu plus haut. Attention une erreur très classique chez les élèves. Plutôt que de taper -0.5×8000 pour trouver la valeur -4000, les élèves tapent -0.5×8000e-0.5x en pensant obtenir le résultat. Comme j’aime à le rappeler, il n’est pas interdit de réfléchir. La partie calcul de la Numworks est destinées comme son nom l’indique au calcul, donc pas de x.

7) -4000<0 et e-0.5x >0 d’après la définition de l’exponentielle. Le produit d’un positif et d’un négatif est négatif, la dérivée est négative, la fonction décroissante.

8) et 9) Avant de faire le tableau de variations, je vais faire le tableau de valeurs pour trouver la valeur en 6.

10) a) graphiquement il apparaît une longueur 3m.

b) La fonction est décroissante, donc plus la longueur est grande, plus la masse diminue.

11) À la calculatrice : 2.3. On voit que graphiquement on est approximativement dans cette zone. Pour une véritable résolution, c’est l’équation soit f(x)=2500. Il apparaît qu’on retrouve bien le même résultat que celui demandé.

Conclusion

Même remarque que pour la fonction logarithme, pas évident de savoir sur quel pied danser avec les derniers sujets de BAC. Mais tout comme pour la fonction logarithme, ces vieux problèmes même s’ils ne reflètent pas les sujets actuels permettent de manipuler les propriétés des fonctions exponentielles. Elles sont indispensables à la réalisation de problèmes plus complexes.