Lycée : Logarithme népérien

On voit la fonction logarithme en classe de terminale. Je vais aller à l’essentiel, si vous voulez un cours complet vous pouvez le télécharger ici. Je vais traiter ici très rapidement les propriétés et montrer deux problèmes de BAC.

Logarithme, ce qu’il faut savoir.

Pour un élève de terminale qui a fait sérieusement son travail sur l’année de première, le logarithme ne doit pas être une difficulté. Il faut savoir dériver, savoir manipuler sa calculatrice et connaître les propriétés suivantes :

On définit la fonction logarithme sur :

\[ \left] 0 ; +\infty \right[ \]

Il n’y a donc pas de bizarrerie, au niveau des énoncés nous serons dans des contextualisations avec des valeurs positives. Une valeur particulière du logarithme, c’est ln(1)=0, on peut le retrouver facilement à la calculatrice.

La dérivée de la fonction logarithme népérien c’est :

\[ 1 \over x \]

Ici encore, un élève qui maîtrise son cours de première n’aura pas de difficulté à comprendre les dérivées suivantes. Soit f(x)=8ln(x) et g(x)=-7ln(x) alors les dérivées respectives sont :

\[ f'(x)= {8 \over x} \] et \[ g'(x)= {-7 \over x} \]

On peut donc attaquer les problèmes.

BAC PRO : problème type

1) \[ f(1)=5 ln(1)+ 3 \times 1 +147 =150 \]

Au départ, 150 élèves prennent un petit déjeuner.

2)

\[ f'(x)={{5 \over x} + 3} \]

Nous sommes dans l’application directe du cours.

3) a) C’est ici la nouveauté par rapport aux fonctions polynômes vues en classe de première. En classe de première, on ne demande pas à l’élève de prouver le signe de la dérivée. Pour les logarithmes, c’est souvent le cas. C’est simple :

\[ x \in \left[ 1;15 \right] \] donc x est un nombre positif, comme un nombre positif divisé par un nombre positif est positif alors \[ {5 \over x} \ge 0 \] et \[ {{5 \over x} +3} \ge 0 \]

La dérivée est donc positive, la fonction est ainsi strictement croissante sur [1;15]

b) On peut alors facilement dresser le tableau de variations de la fonction. Mais avant pour obtenir la valeur en 15, je vais faire le tableau de valeurs de la fonction soit répondre à la question 4. On voit que pour 15 j’ai 206. Soit :

Comme j’aime à le faire remarquer aux élèves, la force du contexte, c’est justement la vérification des données dans un contexte donné. Il s’agit ici d’une campagne d’information quant à l’intérêt de prendre un petit déjeuner le matin. Il est fort à parier que la campagne fonctionne, donc la fonction est croissante. Au bout de 15 jours, 206 convertis contre 150, c’est cohérent.

Je vais faire la question 5) et 6) en même temps. On veut savoir au bout de combien de jour, on aura franchi le cap des 180 convertis au petit déjeuner. Graphiquement il me suffit de tracer y=180 et de voir où ça coupe.

Il apparaît graphiquement que c’est aux environs de 7.5 jours soit 8 jours. La méthode graphique est autorisée dans l’énoncé, on va néanmoins résoudre l’équation f(x)=180.

7.6 ce qui correspondait au résultat trouvé graphiquement.

BAC PRO : fonction logarithme avec tangente

Pour cette partie, il sera nécessaire de revoir la notion de tangente.

1) f(x)=144ln(3)+81=239 contaminés au bout de 3 jours

2)

\[ f'(x)={144 \over x} \]

3) 4) 144>0, x>0 car x ∈ [1;30] donc f'(x) est strictement croissante sur [1;30]

Remarque : à la question 4) il est demandé les variations de f. Il n’est pas demandé le tableau de variations de la fonction f. Un élève qui ferait un tableau de variations ne serait pas pénalisé le jour de l’examen. Pourtant, la réponse attendue à cette question est bien la formulation que je donne plus haut.

Tangente

6)

\[ f'(20)={{144 \over 20}=7.2} \]

On se rappellera que f'(20) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 20.

7) Rappel. La formule permettant de trouver l’équation de la tangente est donnée systématiquement dans le formulaire du BAC PRO. On ne la donne pas lorsque la tangente est tracée et qu’on attend du candidat une lecture du coefficient directeur ainsi que l’ordonnée à l’origine. On se référera au cours suivant.

\[ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \]
\[ y=f'(20)(x-20)+f(20) \]

Nous connaissons la valeur de f'(20) d’après la question 6), pour trouver f(20) il suffit d’utiliser la calculatrice.

\[ y=7.2(x-20)+512 \]

On développe

\[ y=7.2 \times x – 7.2 \times 20 +512 \]
\[ y=7.2 x -144 +512 \]
enfin \[ y=7.2 x +368 \]

Voici la suite de l’énoncé. On remarquera que la tangente que nous trouvons est proche de celle qu’on nous donne. On remarquera aussi que le sujet n’est pas là pour « planter » les candidats. Un élève qui ne trouve pas la tangente à la question 7, peut faire son sujet.

8)

a) Pour tracer la tangente, il suffit de se positionner au point d’abscisse 20 de la courbe et à 370 sur l’axe des ordonnées. Soit, les positions 2 et 1 notées sur la courbe.

b) Pour 550 personnes, nous sommes aux environs de 25 jours.

c) Il s’agit d’une question complexe qu’on ne poserait certainement pas aujourd’hui. Néanmoins, les tangentes font leur retour en force depuis quelques années. Avec un peu d’observation, ce n’est pas compliqué, il suffit de regarder. On voit qu’à 550 la tangente et la courbe sont quasiment au même endroit. On peut dire que la tangente est une bonne approximation. En outre lorsqu’on sera à 50, la tangente et la courbe seront trop écartées, les résultats seront trop différents pour avoir une bonne approximation.

Remarque

J’ai fait le choix de prendre deux vieux problèmes de BAC datés d’il y a plus de 7 ans. Depuis quelques années nous assistons à une véritable transformation des énoncés, avec le contexte COVID difficile de savoir sur quel pied danser. Par exemple, la dérivée qui fait partie du programme, on ne la voit plus que sur des fonctions polynômes vus en classe de première. Pour les exercices avec du logarithme, pas mal de questions de réflexion, c’est d’ailleurs la tendance du BAC au moment où j’écris ces lignes. Moins de « mécanisme » plus de compréhension. Il est toutefois impossible de passer outre, je viens de faire la base. Nous verrons plus tard ces fameux problèmes.