Nous avons dans le précédent épisode vu le calcul de la fonction dérivée pour une fonction du second degré. Les quelques erreurs à ne pas commettre avec notamment bien faire attention à ne pas imaginer des 0 partout dans le tableau de variations. Voici la dérivation d’une fonction de degré trois.
Fonction du troisième degré
Avant d’aller plus loin il est important de visualiser à quoi ressemble une fonction du troisième degré.
J’ai pris le cas, monter, descendre puis remonter. J’aurai pu prendre le cas descendre, monter descendre ce qui est exactement pareil. Ce qu’il faut retenir et surtout voir c’est que nous avons un maximum et un minimum. Concrètement cela veut dire que la dérivée va s’annuler deux fois et que ce sera une équation du second degré.
Dérivation des fonctions polynômes.
Voici une explication générale de la dérivation des fonctions polynômes
Concrètement le chiffre de la puissance passe devant, la puissance est diminuée de 1. Par extension pour une fonction du troisième degré avec x3 le 3 passe devant, la puissance devient 3-1=2. Par conséquent, la dérivée de x3 c’est 3x2. Ainsi, une fonction de degré trois a une dérivée de degré 2. On se rappelle que la résolution d’une équation du second degré donne deux solution quand le delta est positif.
Cas concret. Dérivation degré 3
Soit la fonction f(x)=x3 − x2 − x − 1 définie sur [-100;100]
La fonction dérivée est donc f'(x)=3x2-2x-1
Nous allons résoudre à la calculatrice, l’équation 3x2-2x-1=0.
Graphiquement la fonction ressemble à ceci. J’en déduis que j’ai d’abord un maximum puis un minimum correspondant respectivement à -1/3 et 1.
Ainsi avec les éléments qui précèdent, pour compléter le tableau de variations, j’ai besoin des valeurs suivantes.
On notera que je n’ai pas fait de réglage d’intervalles, je me suis contenté de taper les valeurs qui m’intéressent. La borne minimale -100 et 100, les valeurs pour laquelle la dérivée s’annule -1/3 à la calculatrice soit le -0.3333 qui apparaît et le 1. En regardant le graphique, je vois que la fonction est croissante, décroissante puis croissante, je peux facilement faire le tableau de variations.
Conclusion
Ici encore on fera attention au choix de l’intervalle à savoir ne pas foncer tête baissée vers obligatoirement un maximum et un minimum. Se rajoute aussi un autre paramètre à prendre en compte. Il s’agit d’une équation du second degré, ainsi trois cas sont possibles :
- Deux solutions avec un maximum et un minimum comme c’est le cas ici.
- Une solution
- ou pas de solution.
Un exemple avec une solution. On voit que la dérivée est égale à 0 seulement pour x=1.
Néanmoins, pour un niveau BAC PRO toutefois, pas trop de souci, il y a peu de chance de tomber sur un cas extrême, on se limitera à un degré 3 qui conduit au maximum et au minimum.
