Afin de comprendre cet article, il faudra jeter un coup d’œil du côté de la notion de tangente. On va retenir qu’à chaque point de la courbe, on peut associer une tangente. Le coefficient directeur de cette tangente est appelé nombre dérivé. Si on associe l’ensemble de tous les nombres dérivés, on obtient la fonction dérivée f'(x).
Ce qu’il est important de se rappeler c’est ce qui suit :
- Lorsque la dérivée est négative, la fonction est décroissante
- Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante
- Lorsque la dérivée est nulle la fonction est au maximum ou au minimum.
La raison pour ce dernier est assez simple à comprendre et plutôt mnémotechnique. On se rappelle que si le nombre dérivé est nul, cela veut dire que le coefficient directeur de la tangente est nul. La tangente est donc horizontale comme on peut le voir ci-dessous.
Calcul de fonction dérivée
Soit la fonction f(x) définie par f(x)=4x2+5x-1000000
Lorsque je vais dériver, les nombres « seuls » ou constantes sont supprimés. Cela veut dire que dans l’exemple ci-dessus, je vais retirer le 1000000. Pour les nombres avec x, je supprime le x et je conserve le nombre de devant. Dans mon exemple précédent le 5x va devenir 5. Le x2 est transformé en 2x. Ce qui veut dire que dans l’expression ci-dessus, le 4x2 devient 4×2x=8x. Donc f'(x)=4×2x+5=8x+5.
Soit la fonction g(x) définie par f(x)=-6x2+15x-50. On en déduit g'(x)=-6×2x+15=-12x+15
Utilisation dans un cas classique
Soit la fonction f(x)=-8x2+32x-10 définie sur [-5;5]
J’en déduis que la fonction dérivée est donnée par f'(x)=-8×2x+32=-16x+32
Je sais que la fonction f(x) est une parabole car la puissance maximale est un carré. Comme il y a un moins devant le x2 il s’agit d’une parabole en forme de montagne ou un smiley triste, elle va donc être croissante puis décroissante. Si j’ai compris ce qui est écrit en introduction, cela veut dire que la dérivée sera d’abord positive puis négative.
Je vais chercher la valeur pour laquelle la dérivée est égale à 0. Pourquoi ? Je sais que lorsque la dérivée est égale à 0, alors j’ai un maximum ou un minimum. Dans le cas présent il s’agira d’un maximum puisqu’il s’agit d’une montagne.
f'(x)=0 soit -16x+32=0 soit x=2. Pour résoudre l’équation, soit on connaît la méthode, soit on utilise simplement sa calculatrice.
Je peux donc commencer à construire mon tableau de variations d’après les informations que j’ai trouvées et celles de l’énoncé.
Il faut donc que je trouve à l’aide de ma calculatrice, la valeur de f(-5), de f(2) et de f(5). Soit :
Ce qui me permet de compléter le tableau de variations. Le -5 et le 5 viennent du début de l’énoncé, le 2 est la valeur pour laquelle la dérivée est égale à 0.
Quel intérêt ?
Les élèves ont tendance à faire remarquer qu’à partir du graphique, ils sont tout à fait capables d’obtenir le tableau de variations complet de la fonction. Ils n’ont pas totalement tort, sauf si on met le graphique suivant :
Je peux de façon évidente dire que ma fonction est croissante puis décroissante. Par conséquent, je peux aussi dire que ma fonction a une dérivée qui est d’abord positive puis négative. Les choses vont devenir plus compliquées quand on me demande la valeur du maximum. Je vois que la valeur du maximum se situe entre 1 et 2 mais je ne peux pas donner la valeur exacte. Si on me donne la fonction, je peux calculer la dérivée, et trouver la valeur exacte pour laquelle elle est égale à 0 ce que je ne peux pas faire avec le graphique.
Le graphique est un outil de vérification, il n’est pas un outil de détermination. Le calcul de la dérivée à niveau première est une obligation pour présenter un tableau de variations ou donner les variations de la fonction.
Deux erreurs classiques
La première erreur que font les élèves, c’est confondre f(x) et f'(x). Ils vont parfois résoudre f(x)=0 ou faire le tableau de valeurs avec f'(x). Dans un tableau de valeurs c’est clairement f(x) qui est indiqué, il n’y a pas d’erreur possible. De la même manière si on a compris / appris le cours, on sait que c’est f'(x) qui doit être égale à 0.
La seconde erreur, c’est de penser qu’il y a obligatoirement un zéro dans le tableau. Reprenons le cas précédent. Je reprends ma fonction f(x)=-8x2+32x-10 mais cette fois-ci sur l’intervalle [-5;1]. La fonction dérivée n’a pas changé tout comme la valeur pour laquelle la dérivée s’annule. f'(x)=0 pour x=2. Cela veut dire que la fonction est croissante puis décroissante après 2. Sauf qu’on ne voit pas la partie où elle décroit. Graphiquement on a quelque chose qui ressemble à ceci :
Ainsi le tableau de variations est le suivant
Conclusion
La dérivation est le chapitre le plus complexe de BAC PRO et c’est un incontournable. S’il n’est pas maîtrisé, le logarithme, l’exponentielle et bien évidemment le calcul intégral, c’est compliqué. À contrario quand on maîtrise, c’est le gros du programme qu’on peut se mettre dans la poche.
Pour ma part en tant qu’enseignant, la véritable difficulté pour les élèves c’est la compréhension plus que l’application. Il apparaît qu’on a des sujets de BAC de moins en moins « bourrins » à savoir qu’on n’est plus dans le classique, fonction, dérivé, tableau, tracé, exploitation mais à une réflexion plus subtile sur les contenus mathématiques, notamment le lien avec la tangente.
Bonjour
A noter pour ceux qui se diraient que « Ça ne sert à rien » que pour un plombiers chauffagiste ou un électricien qui mettrait en service un système de chauffage ou de climatisation que la régulation (le système qui va faire que ça chauffe/refroidi plus ou moins fort selon qu’il fait plus ou moins chaud) utilise extrêmement souvent un modèle dit PID pour Proportionnel Intégral Dérivé.
Même si au niveau du technicien on utilise pas les calculs qui vont avec, mais plutôt des méthodes empiriques pour régler ces paramètres, se souvenir de la notion de surface pour une intégrale et de tangente pour une dérivée, ça aide sacrement à comprendre pourquoi on augmente ou on diminue tel paramètre dans la machine qu’on vient d’installer.