Lycée : comprendre la notion d’écart type

Les statistiques sont vues depuis le collège. On pousse jusqu’aux représentations graphiques, le calcul de la médiane et de la moyenne. Au lycée, on va voir les quartiles, la représentation de la boîte à moustache et enfin l’écart type. L’écart type est intéressant, car il permet de trancher dans des situations où la médiane et la moyenne ne « voient » rien.

Soient deux classes A et B … Impossibles à distinguer.

Voici deux classes A et B, qu’on a regroupé par notes. On se propose de faire les calculs usuels, le mode, la médiane et la moyenne.

NotesEffectif (classe A)Effectif (classe B)
341
531
621
824
925
1057
1125
1224
1421
1531
1741

3131

Moyenne de la classe A :

\[ \overline x = {{3 \times 4+5 \times 3+… +14 \times 2+15 \times 3+17 \times 4} \over 31} ={310 \over 31}=10 \]

Moyenne de la classe B :

\[ \overline x = {{3 \times 1+5 \times 1+…+14 \times 1+15 \times 1+17 \times 1} \over 31}={310 \over 31}=10 \]

Le mode pour A est 10, car l’effectif le plus grand est 5, il correspond à 10. De la même manière pour la classe B, le mode 10, car l’effectif le plus grand est 7 pour 10.

Enfin pour le calcul de la médiane, il apparaît qu’elle aussi est de 10 pour la classe A et B.

Médiane de la classe A : 3-3-3-3-5-5-5-2-2-8-8-9-9-10-10-10-10-10-11-12-12-14-14-15-15-15-17-17-17-17

Médiane de la classe B : 3-5-6-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-10-10-10-10-11-11-11-11-11-12-12-12-12-14-15-17

Ainsi la médiane, la moyenne et le mode sont identiques. Les paramètres de position du collège ne permettent pas de distinguer les deux classes.

Utilisation du diagramme en bâtons.

Comme nous venons de le voir, il est impossible de distinguer les deux classes. Pourtant, ces deux classes ne sont pas identiques. On peut s’en rendre compte de façon assez simple en réalisant un diagramme en bâtons pour chacune de ces classes.

Pour la classe A : les valeurs aux extrémités sont assez importantes, nous avons de très bons élèves, mais aussi de nombreux mauvais élèves. On peut dire que la classe est hétérogène.

Pour la classe B : les valeurs sont concentrées autour de la moyenne entre 8 et 12. Il y a très peu de mauvaises notes, mais aussi peu de bonnes notes. La classe est homogène.

Ainsi ces deux classes obtiennent en apparence les mêmes résultats, mais pas de la même manière.

Définition de l’écart type

On définit l’écart type noté σ (sigma) comme l’écart à la moyenne ou la mesure de la dispersion. Plus la dispersion est importante (classe A), plus l’écart type est élevé. Réciproquement, plus la dispersion est faible (classe B), plus l’écart type est petit.

L’écart type va être utilisé dans les problèmes de BAC pour comparer les deux séries. La réponse type sera de déterminer quelle est la situation la plus désordonnée des deux. Par exemple, on peut considérer deux régions de France dans lesquels les volumes de pluie sont similaires. Néanmoins, dans une région dans laquelle il pleut souvent, l’écart type sera faible. Par contre, pour une région comme l’Occitanie où il peut ne pas pleuvoir durant des semaines, l’écart type est important du fait d’avoir des périodes d’inondations.