Collège : fonction affine

Nous avons vu dans un article précédent la notion de fonction linéaire, la fonction affine est la suite logique. On va voir qu’il y a peu de différence, quand on a compris le fonctionnement de l’une, on peut en déduire facilement l’autre. Ce qu’il est important de retenir des fonctions linéaires :

  • Une situation de proportionnalité
  • Une droite qui passe par 0
  • La notion de coefficient directeur, le nombre devant x, s’il est positif la droite monte, sinon elle descend.

La fonction affine ne présente pas plus de difficulté, ce n’est plus une fonction de la forme f(x)=ax mais f(x)=ax+b. En moyen mnémotechnique pour mes élèves j’aime employer l’expression : linaire il n’y a rien derrière.

Utilisation de la calculatrice

Soit f(x) la fonction affine définie par f(x)=2x+5. Je me propose de compléter le tableau suivant.

x0357
f(x)

Voici la procédure à réaliser avec la calculatrice.

Le tableau est alors complété de la façon suivante.

x0357
f(x)5111519

Il est à noter qu’on peut très bien faire le calcul à la main. Par exemple f(3)=2×3+5=11 ou f(7)=2×7+5=19.

La fonction affine n’est pas une situation de proportionnalité.

Voici la méthode pour vérifier si un tableau est proportionnel ou non. J’exclus la valeur 0 qui pose le problème de la division par 0.

\[ {11 \over 3} =3.66 ; {15 \over 5} =3 \]

Je n’ai pas besoin de faire le dernier calcul à partir du moment où les deux premiers ne m’ont pas donné la même valeur. J’en déduis que ce n’est pas une situation de proportionnalité, ce n’est donc pas une droite qui passe par 0. Si je place les points dans un repère, voici ce que j’obtiens.

Il s’agit d’une droite qui ne pas passe pas par 0 mais qui passe par 5. 5 s’appelle l’ordonnée à l’origine, on la retrouve dans l’expression 2x+5. Pour vérifier que je passe bien par cette valeur, je fais le choix de prendre la fonction 3x-2. La représentation graphique est la suivante.

Monter, descendre

Comme nous avons pu le voir, les deux fonctions affines f(x)=2x+5 et f(x)=3x-2 sont deux droites qui montent. En effet, la valeur devant x, 2 et 3 sont des nombres positifs. On dit que le coefficient directeur est positif, les droites montent, les fonctions sont croissantes. Vérifions alors le comportement de f(x)=-2x+5

Le coefficient directeur, -2 est négatif. La droite descend, on dit que la fonction est décroissante.

La fonction affine : conclusion

Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+b. a est le coefficient directeur, s’il est positif, la droite monte, sinon elle descend. b est l’ordonnée à l’origine, c’est la valeur par laquelle passe la droite sur l’axe des ordonnées. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui ne passe pas par 0, il ne peut s’agir d’une situation de proportionnalité.