Probabilité et tableau de contingence

Le calcul de probabilité revient de façon systématique en BAC PRO de l’enseignement agricole. Depuis la crise COVID les sujets ont évolué de façon étrange, mais durant des années, on avait droit de façon systématique à un tableau de contingence. Je propose aujourd’hui de résoudre un problème type, il s’agit du BAC PRO 2013.

Rappel de la notion de probabilité

Pour se rappeler la notion de probabilité, le plus simple, c’est pile ou face. Vous avez une chance sur deux de tomber sur pile. On peut donc traduire le résultat de la façon suivante :

\[P(pile)= {1 \over 2} =0.5 \]

Par extension, la probabilité de tomber sur la face 2 dans un dé à 6 faces, c’est :

\[P(face 2)= {1 \over 6} =0.16 \]

Ou encore la probabilité de trouver un roi dans un jeu de 32 cartes :

\[P(roi)= {4 \over 32} ={1 \over 8}=0.125 \]

On notera que dans ce dernier exemple, on se ramène à une fraction irréductible. C’est une exigence que j’ai dès la troisième, a fortiori en classe de terminale. On peut donc arriver rapidement à quelques conclusions :

  • Une probabilité est une fraction qu’on présentera aussi sous forme décimale. Le dénominateur représente la totalité des possibilités. Le numérateur représente ce qu’on cherche. Par exemple, dans une classe de 30 élèves, il y a 14 filles. La probabilité de trouver une fille, c’est nécessairement le rapport entre 14 et 30 soit 0.47
  • Le résultat est compris entre 0 et 1. 0 Est un événement qui ne peut pas se produire. 1 est un événement qui va forcément se réaliser. Par exemple dans une classe de quatrième, la probabilité d’avoir des élèves de moins de 18 ans est de 1.
  • Le contraire d’un événement peut être déduit facilement. Si par exemple dans mon précédent je cherche la probabilité de trouver un garçon, je fais 1-P(filles) soit 1-0.47=0.53
  • Enfin, le passage au pourcentage se fait de façon très simple en multipliant par 100. Ainsi dans la classe précédente, il y a 47% de filles et 53% de garçons.

Exercice type : BAC PRO 2013.

Voici l’exercice tel qu’il a été présenté, je rajouterai quelques questions supplémentaires. On notera que l’exercice est à l’ancienne. En effet aujourd’hui on a tendance à donner le tableau déjà complété puis d’exploiter les résultats. Les inspecteurs ont en effet jugé avec les années, que ce n’est pas cohérent avec une véritable situation de problème. L’exemple type, c’est la résolution de systèmes d’équations pour trouver le tarif du croissant et de la chocolatine. En effet, dans la vraie vie, on connaît le tarif quand on passe la porte de la boulangerie. Je maintiens tout de même l’exercice dans l’état pour rappeler les calculs de pourcentage.

La Maison de la Jeunesse et de la Culture de Caen propose trois activités à ses adhérents : théâtre, gymnastique et chant. Elle organise les horaires des cours pour la prochaine saison. Pour cela, elle effectue une enquête auprès de ses 320 membres. Elle a obtenu les résultats suivants :

  • 30 % de ses adhérents font du théâtre ;
  • Il y a 3 fois plus de personnes qui font du théâtre en semaine que le week-end ;
  • 120 adhérents font une activité le week-end dont le quart de fait du chant ;
  • La moitié des membres font de la gymnastique.
  1. Compléter le tableau en annexe B (à rendre avec la copie) (aucune justification n’est demandée).
    Les résultats numériques aux questions suivantes seront donnés sous forme décimale à 10-2 près.
  2. On choisit au hasard un adhérent de la Maison de la Culture et de la Jeunesse parmi tous ses membres.
    a. Calculer la probabilité pour que l’adhérent choisi fasse du théâtre.
    b. Calculer la probabilité pour que l’adhérent choisi fasse ses activités le week-end.
    c. Calculer la probabilité pour que l’adhérent choisi fasse du chant la semaine.
    d. Calculer la probabilité pour que l’adhérent choisi fasse du théâtre le week-end ou du chant la semaine.
    e. Sachant que l’adhérent fait du théâtre, quelle est la probabilité que ce soit le week-end ?

Compléter le tableau

La première case à compléter c’est le total de la semaine 320-120=200

La seconde case à compléter c’est le théâtre la semaine soit 96-24=72

On peut alors en déduire la troisième case gymnastique la semaine à l’aide des deux résultats précédents 200-34-72=94

Vous noterez que je n’ai pas encore utilisé les données de l’énoncé, je vais donc pouvoir le faire dès maintenant. Il y a 30% d’adhérents qui font du théâtre, cette donnée est inutile. Elle correspond en effet à 96.

Il y a 3 fois plus de personnes qui font du théâtre en semaine que le week-end ; Soit 24 fois 3, c’est 72. Une donnée de plus qui ne sert à rien puisqu’on l’avait trouvée par soustraction.

Un quart des gens fait du chant le week-end. Le quart de 120, c’est 30.

La moitié des gens font de la gymnastique, soit 160. On peut donc compléter le tableau. On finira par faire les soustractions dans les cases à compléter.

ThéâtreGymnastiqueChantTotal
Week-end246630120
Semaine729434200
Total9616064320

Calcul de chaque probabilité

Il s’agit d’un simple problème de lecture

\[P(Théâtre)= {96 \over 320} ={3 \over 10}=0.3 \]
\[P(week-end)= {120 \over 320} ={3 \over 8}=0.38 \]

Calculer la probabilité pour que l’adhérent choisi fasse du chant la semaine. Voici un cas qui est intéressant puisqu’il correspond à l’intersection. On peut traduire par il fait du chant et c’est la semaine.

\[P(semaine \cap chant)= {34 \over 320} ={17 \over 160}=011 \]

On notera que j’ai fait apparaître en gras le croisement dans le tableau. Imaginons que je recherche la probabilité que l’adhérent fasse du chant ou une activité à la semaine. Cela signifie que je vais devoir compter toutes les personnes qui font du chant, toutes les personnes qui font une activité la semaine, c’est le principe de l’union. Il faudra par contre que je fasse attention, car les personnes qui font du chant la semaine auront été comptées deux fois. Une fois pour le chant, une fois pour la semaine. Il faut donc utiliser la formule du cours.

\[P(A \cup B)= P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]

Qui dans l’énoncé se ramène à :

\[P(semaine \cup chant)= P(semaine) + P(chant) – P(semaine \cap chant) \]
\[P(semaine \cup chant)= {200 \over 320} + {64 \over 320} – {34 \over 320}={23 \over 32}=0.72 \]

Je reviens à la suite de l’exercice : Calculer la probabilité pour que l’adhérent choisi fasse du théâtre le week-end ou du chant la semaine. Sur le principe, on peut faire le même raisonnement ce qui voudrait dire

\[P({week-end \cap théâtre} \cup chant \cap semaine ) \]

Seulement à la différence de la partie précédente, c’est binaire. C’est-à-dire que soit on mène une activité le week-end, soit on mène une activité la semaine, mais pas les deux. Il n’y a donc pas d’intersection entre les deux événements. Ainsi le résultat se limite à la somme des probabilités soit :

\[P({week-end \cap théâtre} \cup chant \cap semaine )={24 \over 320} + {34 \over 320}= {29 \over 160} = 0.18\]

Enfin la dernière question est abordée en classe de terminale, il s’agit d’une probabilité conditionnelle. Le calcul n’est plus fait par rapport à 320, mais par rapport à 96. On sait en effet que c’est quelqu’un qui fait du théâtre.

\[P_{Théâtre}(week-end)={24 \over 96}={1 \over 4}=0.25 \]

Conclusion

Les exercices de probabilité ne sont jamais bien compliqués, sauf pour ceux qui ont des problèmes de lecture. Il faut être attentif pour vérifier s’il s’agit d’un et, d’un ou. Il faut regarder s’il s’agit d’une probabilité conditionnelle pour avoir la certitude de diviser par le bon nombre.