Suite géométrique et pourcentage

Avant d’aller plus loin il est indispensable de maîtriser le calcul de pourcentage, l’augmentation et la diminution que vous trouverez dans l’article tout savoir sur les pourcentages. Il y a un lien entre suite géométrique et pourcentage au point que si vous voyez apparaître des U et des %, c’est une suite géométrique. Nous allons expliquer comment le prouver et aller rapidement sur les questions de BAC.

Je reprends l’exemple de fin de l’article.

Un poney et sa maman

Exemple : on considère une population de 50 poneys. Ils augmentent de 30%. Quel est le nouveau nombre de poneys ?

Sur un niveau BAC pro, on va modifier le problème et poser que U0 = 50

poneyspourcentage
50100
30
\[{{50 \times 30} \over 100} =15 \]

On en déduit que U1 =50+15=65. Voici la confusion que vont faire une partie des élèves, considérer que chaque année la population augmente de 15. C’est faux et c’est pourtant facile à comprendre, c’est la nature. Plus vous avez de poneys, plus il va y avoir de bébés. Il est donc logique que 65 poneys fassent plus de bébés que 50. Il faut donc alors reprendre le tableau précédent sauf que ce n’est plus 50 pour 100% mais 65. Ce qui nous donne le tableau suivant :

poneyspourcentage
65100
30

On notera que l’augmentation reste la même.

\[{{65 \times 30} \over 100} =19.5 \]

Soit U2=65+19.5=84.5. Afin de faciliter les calculs même si c’est impropre, je vais conserver la valeur 84.5. On aura conscience qu’il faudra arrondir, on ne peut pas parler de demi poney. Si on me demandait de calculer U3 le calcul serait similaire, mais avec 84.5

Prouver qu’il s’agit d’une suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dans laquelle on passe d’un terme à l’autre en multipliant. Pour prouver qu’une suite est géométrique, on fait des divisions de la façon suivante.

\[{U_2 \over U_1} ={84,5 \over 65}=1.30 \]
\[{U_1 \over U_0} ={65 \over 50}=1.30 \]

On trouve 1.30, c’est la raison qu’on notera q. C’est le nombre qui me permet de passer d’un terme à l’autre. Sachant qu’il faut multiplier, on en déduit que :

\[{U_3 = U_2 \times 1.30}={84.5 \times 1.30}=109.85 \]

Lien entre pourcentage et suite géométrique

On notera que j’ai noté q=1.30 alors que j’aurais pu noter 1.3. Seulement je voulais insister sur le 30% du départ. Si on a compris mon raisonnement. Une augmentation de 40% donne une raison de 1.40. Si j’ai une augmentation de 25% alors ce sera 1.25

Dans le cas d’une diminution le raisonnement est le même. Si j’ai une diminution de 30% alors 100-30=70% donc la raison est q=0.70. Si j’ai une diminution de 85% alors 100-85=15% soit une raison q=0.15.

Utilisation de la Numworks pour trouver un seuil

Dans la majorité des problèmes de BAC, on va me demander au bout de combien de temps on aura dépassé un certain nombre. Par exemple, je vais demander au bout de combien d’années nous aurons dépassé les 2000 poneys dans mon exercice. Imaginons que l’année 0, c’est 2021. Dans ma calculatrice je vais noter une suite de type :

\[{U_{n+1} = 1.30 \times U_n} \]

Et U0 = 50. Il me suffira de me déplacer dans le graphique pour voir quand j’ai dépassé les 2000.

On voit que j’ai dépassé pour n=15 ce qui veut dire que pour 2021+15=2036 j’aurai dépassé les 2000 poneys dans mon troupeau.