Collège : théorème de Thalès et réciproque

Au niveau de l’enseignement professionnel agricole ou des troisièmes pro de l’éducation nationale, la géométrie est relativement pauvre. Le théorème de Pythagore que nous avons vu la dernière fois, la trigonométrie et le théorème de Thalès. Il est à noter que je vais vite fait expliquer la réciproque, car elle n’est pas compliquée. Je ne l’ai pas croisée dans les sujets de DNB même si elle est au programme.

Thalès, un sage de la Grèce antique

Nous avons vu que Pythagore était un sportif à l’époque au point de gagner les jeux olympiques, Thalès a su se distinguer. Financier, astronome, homme politique, un homme qui voulait montrer la puissance des mathématiques et surtout leur intérêt. Par exemple, grâce à ses connaissances en astronomie, Thalès aurait prédit une forte arrivée d’olives. Il va donc louer tous les pressoirs de la ville d’Athènes. Les agriculteurs se voient alors obligés de louer à Thalès les pressoirs qui s’enrichit. Thalès aurait fait partie des premiers sages de la ville d’Athènes, qui il faut le rappeler était une démocratie.

Thalès est principalement connu pour son voyage en Égypte où il aurait fait la mesure de la pyramide du pharaon Khéops. Je vous invite à regarder la vidéo qu’a fait Arnaud des « Dudus ».

Source mathix.

Il y a toutefois deux choses qui clochent dans cette mesure. La première est très pratique. L’ombre fait la même taille que les objets seulement deux fois l’an, sacré coup de bol pour le mathématicien d’arriver dans un des deux bons jours de l’année. L’autre problème est purement pédagogique : mais quel est le rapport entre la mesure « historique » et les exercices de DNB ?

Les conditions pour appliquer le théorème. C’est quoi le théorème ?

Je vous invite à faire la première partie de mon cours qui fonctionne plutôt bien avec des élèves de l’enseignement agricole. Je donne cinq figures en demandant de mesurer les côtés. Si vous regardez la première figure par exemple, on voit qu’il y a un petit triangle AMN et un grand triangle ABC. C’est le cas dans chacune des figures.

On se rend compte que pour trois figures le rapport des côtés du petit sur les côtés du grand sont les mêmes. Avec les précisions en lien avec les mesures. Pour les deux où cela ne fonctionne pas, on réalise que dans un cas c’est une absence de parallélisme et dans l’autre de points alignés.

Pour faire un Thalès, j’ai donc besoin de droites parallèles et de points alignés.

Reprenons ce que je viens de dire. Viens de dire que si j’ai des droites parallèles et des points alignés, quand je divise les petits par les grands, j’obtiens toujours le même résultat. Il s’agit d’une relation de proportionnalité. Je retiens donc que le théorème de Thalès, c’est de la proportionnalité entre un petit triangle et un grand triangle.

Application : le cas classique

Voici un exercice tiré du manuel Sesamath

La première chose à remarquer c’est l’angle de 70° ce qui me permet de dire que les droites (AD) et (FE) sont parallèles. Quand j’explique le théorème de Thalès, je demande aux élèves d’être vigilant au point en face des parallèles et de partir de lui. Il s’agit du point B. J’ai donc B, E et D alignés, et B, F, A alignés. La rédaction se fait de la façon suivante :

(AD) // (FE)

B, F, A sont alignés

B, E, D sont alignés

Alors d’après le théorème de Thalès, je peux me lancer. Je vais demander aux enfants de démarrer par trois traits de fraction séparés par des signes « égal ».

\[ {{ vide } \over { vide }} ={{ vide } \over { vide }} = {{ vide } \over { vide }} \]

Sur les deux premiers traits de fractions je mets la lettre en face des parallèles

\[ {{ B? } \over { B? }} ={{ B? } \over { B? }} = {{ vide } \over { vide }} \]

Je vais faire ensuite petit divisé par grand commençant par B. Si je fais BF (petit), en prolongeant j’ai BA. Je termine par petite parallèle sur grande parallèle.

\[ {{ BF } \over { BA }} ={{ BE } \over { BD }} = {{ EF } \over { AD }} \]

Je remplace désormais par les nombres connus sous forme de tableau de proportionnalité puisque c’est la définition même du théorème.

8.2BE6
AB22.515

Je peux facilement réaliser les calculs par produit en croix :

\[ AB={{8.2 \times 15} \over 6}=20.5 \]
\[ BE={{22.5 \times 6} \over 15}=9 \]

Application : le sablier

Maintenant qu’on a compris, on va aller plus vite. Le sablier, c’est exactement pareil, néanmoins les élèves font deux erreurs assez régulières : ne pas respecter le bon alignement, se rater sur le sens des parallèles.

(ET) // (IR) car l’angle T et I sont identiques

E, O, R sont alignés

T, O, I sont alignés

Alors d’après le théorème de Thalès. Comme on peut le voir la distinction entre petit et grand n’est pas évidente. Je vais donc faire triangle de gauche divisé par triangle de droite. La lettre O est la lettre face aux parallèles.

\[ {{ OE } \over { OR }} ={{ OT } \over { OI }} = {{ ET } \over { IR }} \]
OE6.42.4
7OI3
\[ OE={{7 \times 2.4} \over 3}=9 \]
\[ OI={{6.4 \times 3} \over 2.4}=8 \]

Pour faire plaisir à l’énoncé ER=EO + OR =9+7=16

Réciproque du théorème de Thalès

Nous sommes dans un cas similaire à celui de Pythagore. Souvenez-vous. On avait dans le théorème de Pythagore, les combinaisons suivantes :

  • Le théorème : angle droit + côté + côté = côté
  • La réciproque : côté + côté + côté = angle droit.

Pour le théorème de Thalès, on peut arriver à quelque chose de similaire :

  • Le théorème : parallèles + côtés = côtés
  • La réciproque : côtés + côtés = parallèles

Passons directement à l’application. Ma rédaction est légère, mais suffisante pour un DNB Pro. Il faut savoir que si l’élèves emploie le mot Thalès, il gagne deux points sans mettre les conditions de parallélisme !

D’une part : \[ {OS \over ON} = {2.7 \over 5.4 }= 0.5 \]
D’autre part : \[ {OT \over OM} = {1.4 \over 2.8 }= 0.5 \]

Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (TS) sont parallèles.

Petite explication brève. Je ne fais plus trois traits de fraction, mais deux, sur lesquels je mets à nouveau le point face aux parallèles présumées. Comme je suis dans la situation du sablier, je fais triangle du haut sur triangle du bas. J’ai trouvé la même valeur, soit 0.5, j’en déduis que les droites sont parallèles. Si je n’obtiens pas le même résultat, les droites ne sont pas parallèles.

Lien entre mesure de la pyramide et théorème de Thalès

Comme je l’ai expliqué plus haut, la mesure historique de Thalès, c’est ainsi qu’elle est présentée.

On a d’un côté Thalès qui mesure son ombre et de l’autre la pyramide. On parle de rapport ce qui nous ramène bien à nos histoires de proportionnalité, mais quel lien avec les applications. Une explication ci-dessous avec une coupe en 2D. À gauche Thalès, à droite la pyramide, comme dans Dragon Ball … FUSION !

Comme on peut le voir dans mon animation ci-dessus, je suis passé d’une situation séparée Thalès et la pyramide, à une situation regroupée. D’un point de vue pratique cela voudrait dire que le rayon de soleil qui passe au sommet de la pyramide, passe sur la tête de Thalès.

On retrouve alors une situation de théorème de Thalès classique.

Pour rester en Égypte, si vous voulez réaliser la visite virtuelle d’un tombeau d’un pharaon, c’est par ici. Par contre, ce n’est pas Khéops, mais Ramsès !