Collège : fonction linéaire et proportionnalité

La fonction linéaire est vue en classe de troisième, elle est la première fonction vue par les élèves, pas la dernière. Avant d’aller plus loin, il est nécessaire de maîtriser la notion de proportionnalité.

Proportionnalité

Le principe de la proportionnalité est plutôt simple. Si un 1 de tomates coûte 2 €, alors 3 kilos de tomates coûtent 6 € (3 fois 2). On dit que le prix et le kilo de tomates sont des valeurs proportionnelles. L’une dépend de l’autre. Toutes les valeurs ne sont pas proportionnelles, le poids et la taille par exemple. Si vous croisez une personne qui mesure 1.80 m elle ne pèsera pas le même poids qu’une autre personne qui mesure 1.80m. Tout dépend de l’alimentation et du mode de vie des deux individus.

Tableau de proportionnalité

Voici un tableau, je cherche à prouver qu’il est proportionnel.

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1015202535

Pour prouver qu’un tableau est proportionnel, je fais des divisions de la façon suivante. Je fais le choix de faire les grands par les petits de façon à obtenir des nombres plus grands que 1.

\[{10 \over 2}=5 ; {15 \over 3}=5; {20 \over 4}=5;{25 \over 5}=5; {35 \over 7}=5\]

J’ai trouvé la même valeur partout, 5, j’en déduis que le tableau est proportionnel. Le coefficient de proportionnalité est de 5. Si je multiplie la première ligne par 5, je trouve la seconde.

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69121018
\[{6 \over 2}=3 ; {9 \over 3}=3; {12 \over 4}=3;{10 \over 5}=2 \]

On remarquera que je n’ai pas fait le dernier calcul, en effet du fait de trouver 2 et pas 3, inutile de continuer. Je n’obtiens pas le même nombre, le tableau n’est pas proportionnel.

Relation avec le graphique

Voici les points des deux tableaux placés dans un repère. Il apparaît que dans le cas d’une situation de proportionnalité, on obtient une droite qui passe par 0. Réciproquement si une situation n’est pas proportionnelle, on n’obtient pas de droite qui passe par 0. Il s’agit d’une question qui revient de façon très régulière dans les énoncés de DNB.

Fonction linéaire : définition, identification

On définit une fonction linéaire par une fonction de la forme f(x)=ax. a s’appelle le coefficient directeur.

Voici une liste de fonctions linéaires :

\[f(x)=2x ; f(x)=2.5x ; f(x)=-3x ; f(x)={2 \over 5}x \]

On retiendra qu’il s’agit d’un nombre multiplié par x.

Voici une liste de fonctions non linéaires :

\[f(x)=2x+3 ; g(x)=2.5x^2 ; h(x)={-3 \over x} ; i(x)=2{\sqrt x} \]
  • f n’est pas linéaire à cause du +3
  • g n’est pas linéaire à cause du carré
  • h n’est pas linéaire, car c’est une division par x et pas une multiplication
  • i n’est pas linéaire à cause de la racine carrée de x

Fonction linéaire : utilisation, proportionnalité, tracé

On considère les deux fonctions linéaires. f(x)=4x et g(x)=-2.5x. Si je veux calculer f(2) alors je fais f(2)=4*2=8. f(3)=4*3=12. De la même manière g(2)=-2.5*2=-5 et g(4)=-2.5*4=-10. (le symbole * est le symbole de la multiplication)

Je peux dresser les deux tableaux suivant en faisant les multiplications. On appelle ces tableaux, tableaux de valeurs.

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f(x)8121620
J’ai multiplié x par 4

Prouvons qu’il est proportionnel :

\[{8 \over 2}=4 ; {12 \over 3}=4; {16 \over 4}=4;{20 \over 5}=4 \]

Le tableau est proportionnel et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur soit 4.

Je réalise le même travail avec la fonction g(x)

x2345
g(x)-5-7.5-10-12.5
J’ai multiplié x par -2.5

Prouvons qu’il est proportionnel :

\[{-5 \over 2}=-2.5 ; {-7.5 \over 3}=-2.5; {-10 \over 4}=-2.5;{-12.5 \over 5}=-2.5 \]

Le tableau est proportionnel et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur soit -2.5.

Si on place les points dans un repère on obtient deux droites qui passent par 0. Logique, les tableaux sont proportionnels. La droite rouge correspond à f(x), on voit qu’elle monte. La droite bleue correspond à g(x), on voit qu’elle descend.

On pouvait le voir de façon simple dès le départ avec l’énoncé.

  • f(x)=4x, le coefficient directeur est positif, la droite monte.
  • g(x)=-2.5x le coefficient directeur est négatif, la droite descend.

Synthèse

  • Pour prouver qu’un tableau est proportionnel, je divise dans chaque colonne les grands par les petits.
  • La représentation d’un tableau de proportionnalité est une droite qui passe par 0.
  • Une fonction linéaire correspond à une situation de proportionnalité. Quand on la trace, on obtient une droite qui passe par 0.
  • Si a>0 la droite monte, si a<0 la droite descend.

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