Collège : Théorème de Pythagore et réciproque

Pythagore, ce mathématicien et … sportif.

Notre histoire se déroule en Grèce, en 500 ans avant JC. Pythagore tire son nom de la Pythie, la prêtresse. Elle explique au père de Pythagore qu’il va jouir d’un destin exceptionnel. En son honneur, il lui donne le nom de Pythagore qui vient de Pythie. On connaît Pythagore pour le théorème, ce qu’on sait moins, c’est qu’il a été champion olympique de lutte. Je vous renvoie pour cette partie à la vidéo de Benjamin.

Pythagore voyage beaucoup dans sa vie et se rend en Égypte, il se rend compte que les murs sont droits. A priori ce n’est pas une évidence à l’époque, les Égyptiens utilisent une corde qui ressemble à ça.

On n’ira pas gâcher le suspense en remarquant qu’il s’agit d’un triangle rectangle et d’un triplet pythagoricien.

Concrètement le théorème de Pythagore qu’est-ce que c’est ?

Si vous voulez tout comprendre au théorème en moins de 40 secondes, je vous invite à regarder cette vidéo.

Concrètement et en langage peu mathématique, on voit que le carré du gros est égal à la somme des carrés des deux petits. L’eau du grand carré se verse intégralement dans les deux petits. La surface du grand carré est égale à la surface des deux petits carrés. Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Concrètement

L’élève va devoir gérer deux cas de figure. On cherche le grand côté.

Si on a suivi ce qui précède alors on se rappellera que le carré du grand est égal au carré des deux petits. Ce ci n’est valable que si le triangle est rectangle. Dans le triangle ABC rectangle en C

\[AB^2=CB^2+AC^2 \] \[AB^2=4^2+3^2 \] \[AB^2=16+9=25 \] \[AB= \sqrt{25}=5 \]

On remarquera que l’élève et son professeur ne sont pas intéressés par la surface du carré engendré par AB, mais bien par la longueur AB. Pour supprimer un carré, on fait une racine carrée.

Le second cas de figure est celui-ci.

Il apparaît ici qu’on nous donne l’hypoténuse. C’est le plus grand côté, il est toujours situé en face de l’angle droit. Si j’ai le grand, cela veut dire que je cherche un petit, je fais donc le petit moins le grand. Soit ABC est rectangle en C, alors d’après le théorème de Pythagore.

\[CA^2=AB^2+CB^2 \] \[CA^2=17^2-15^2 \] \[CA^2=289-225=64 \] \[CA= \sqrt{64}=8 \]

On vérifiera que 8<17 ce qui est logique. Si on avait trouvé un côté plus long, on serait en erreur.

La réciproque du théorème de Pythagore. Le problème à l’envers.

On nous donne désormais trois longueurs. On s’interroge sur le fait que le triangle soit rectangle ou non.

Si le grand côté au carré est égal au carré des deux petits alors le triangle est rectangle. Soit :

D’une part \[AB^2=13^2=169 \] D’autre part \[AC^2+CB^2=5^2+12^2=25+144=169 \] Alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en C

Il est évident que c’est parce que les valeurs sont les mêmes. Si les valeurs étaient différentes le triangle ne serait pas rectangle.

D’une part \[AB^2=10^2=100 \] D’autre part \[AC^2+CB^2=7^2+9^2=49+81=130 \] \[100 \ne 130 \] Alors le triangle n’est pas rectangle

Conclusion

  • Un angle droit + un petit côté + un petit côté -> le grand côté
  • Un angle droit + le grand côté + un petit côté -> un petit côté
  • Un petit côté + un petit côté + le grand côté -> un angle droit (ou pas)

J’ai démarré sur une partie historique, je finis de la même manière. La corde à 13 nœuds est un outil qui a été utilisé durant le Moyen Âge. Guédelon est un site unique en France, des passionnés se sont lancés dans la construction d’un château fort à l’ancienne. L’idée, c’est de comprendre les méthodes utilisées au Moyen Âge. Quel meilleur moyen que de mettre en pratique les méthodes pour avoir la certitude qu’elles étaient bien pratiquées ainsi.