Suites arithmétiques

Je propose ici un cours d’introduction sur les suites arithmétiques en classe de 1ère. Dans ma progression, j’ai fait une séparation entre suites arithmétiques, suites géométriques que j’aborde plus tard et la somme des suites que je fais en terminale. En effet l’idée étant de maintenir les connaissances des élèves sur les deux années et d’éviter la confusion entre suite arithmétique et suite géométrique. La différenciation des deux, le fait d’espacer dans le temps, permet à l’élève de « digérer » les connaissances et à l’enseignant de réinjecter celles-ci trois fois au lieu d’une si on fait arithmétique, géométrique et sommes en même temps.

Définition d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite logique de nombre où l’on passe d’un terme à l’autre en faisant une addition. La suite des nombres pairs est une suite arithmétique 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14.

On passe en effet d’un terme à l’autre en ajoutant +2. On appelle +2, le nombre qui permet de passer d’un terme à l’autre la raison r. Attention, une raison n’est pas nécessairement positive. Par exemple 20 – 15 – 10 – 5 – 0 est une suite arithmétique de raison -5.

On notera de façon générale Un+1=Un+r.

On passe d’un terme à l’autre en ajoutant r

Prouver qu’une suite est arithmétique

Voici une suite de nombre 2-5-8-11-14

On va poser u0 le premier terme de la suite soit u0=2. Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on procède de la façon suivante

u4-u3=14-11=3

u3-u2=11-8=3

u2-u1=8-5=3

u1-u0=5-2=3

On en déduit qu’il s’agit d’une suite arithmétique de premier terme u0=2 et r=3.

Trouver un terme quelconque de la suite

Si u4=14 il est facile de trouver u5 et u6. D’après la définition précédente u5=14+3=17 et u6=17+3=20. Imaginons maintenant qu’on me demande u70. On peut très bien envisager de faire le calcul jusqu’à 70, mais c’est particulièrement long. Si une suite est arithmétique alors elle répond à la formule suivante : un=u0+n*r

Ainsi u70=2+70*3=2+210=212. Ma suite ici est définie de façon générale par un=2+3*r ou un+1=un+3.

Trouver la valeur de dépassement avec la Numworks.

Dans l’exemple précédent, c’est moi qui donne la valeur de 70 et qui demande à l’élève de faire le calcul. On voit que lorsque n=70, j’ai la valeur 212. Je m’interroge désormais sur la valeur du rang n. Quelle sera la valeur de n quand j’aurai dépassé 1000. Je peux voir en effet qu’à 212 je suis à n=70, par le fait je suppose que pour dépasser les 1000 je suis sur une valeur de n qui doit dépenser les 100 ou les 200. Bien sûr, il est possible de le faire à la main, mais le temps à consacrer serait infini. Nous allons utiliser le module des suites de la Numworks.

Je procède par dichotomie, c’est-à-dire que je me rapproche de la valeur en montant si je suis en dessous, en descendant si je suis au-dessus. On voit que j’ai dépassé les 1000 pour n=333