pi : mesure expérimentale et historique

pi est le fameux 3.14 que vous trouvez dans toutes les relations en lien avec le cercle. La première mesure historique a été réalisée par Archimède.

Archimède, génie de l’époque

Les collégiens connaissent Pythagore et Thalès pour subir leur théorème respectif. Archimède est moins connu, et c’est en physique qu’on va le découvrir avec la poussée. L’histoire veut que le roi Hiéron II de Syracuse, demanda à Archimède de vérifier si sa couronne était bien en or. Il avait en effet une méfiance quant à l’artisan qui l’avait fabriquée. Selon la légende dans son bain, Archimède se dit ceci. Le volume d’eau déplacé par une couronne en or ne sera pas le même que le volume d’eau déplacé par une couronne en plomb. Il serait alors sorti en courant nu dans les rues, en criant Eurêka qui signifie : j’ai trouvé.

On lui prête aussi l’invention du levier et la célèbre phrase : donnez-moi un levier et je soulève le monde. Dans ses exploits, il aurait empêché l’invasion de Syracuse en utilisant des miroirs géants. Il aurait alors canalisé l’énergie solaire pour brûler les voiles. Comme souvent, la légende se mélange à la réalité. Des équipes de scientifiques ont en effet démontré qu’il était impossible avec les moyens de l’époque de réussir un tel exploit.

Ce qui nous intéresse davantage ici, c’est sa mesure du nombre pi.

Archimède dans sa baignoire, la couronne du roi est visible

La mesure du nombre pi

Avec les moyens de l’époque, on pouvait se rendre compte que le périmètre d’un cercle dépend du rayon. C’est logique, plus le rayon est important, plus le tour du cercle est important. On se rappellera que le périmètre du cercle est donné par la relation :

\[P=2 \times \pi \times R \]

Regardons désormais la figure ci-dessous

On voit que le périmètre du cercle est compris entre le périmètre du pentagone interne et externe. On peut donc écrire.

\[P_{interne} \le2 \times \pi \times R \ \le P_{externe} \]

Pour avoir un encadrement de pi, on divise à gauche et à droite par 2R soit :

\[{P_{interne} \over {2 \times R}} \le \pi \le {P_{externe} \over {2 \times R}} \]

Appliquons maintenant à la figure ci-dessus. Le périmètre interne vaut 5*3.4=17 environ. Le périmètre externe vaut 5*4.3=21.5. On prendra pour rayon du cercle 3. Soit mon encadrement devient :

\[{17 \over {2 \times 3}} \le \pi \le {21.5 \over {2 \times 3}} \]
\[2.83 \le \pi \le 3.56\]

Si on reprend avec les figures suivantes. Je ne détaillerai pas les calculs maintenant qu’on a compris la méthode.

Pour le premier cas, on a :

\[3.02 \le \pi \le 3.49\]

Pour le second cas, on a :

\[3.04 \le \pi \le 3.19\]

Conclusion

On réalise que plus on augmente le nombre de côtés plus on se rapproche de 3.14. Si vous avez un moment à tuer, vous pouvez tenter votre chance !

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