Lycée : De la fonction affine au nombre dérivé

Le nombre dérivé est abordé la première fois en classe de 1ère. On l’utilise pour aborder la notion de dérivée. Il y a quelques années pour le BAC, on avait de façon exceptionnelle un calcul de tangente. Désormais on voit se démocratiser des questions sur le nombre dérivé et il apparaît qu’en terminale, les connaissances ont disparu. Cette explication s’adressera à des élèves de terminale un peu à la rue qui ont besoin de revoir la notion, mais qui comprennent de quoi on parle 🙂

À l’origine : la fonction affine.

Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+b

a est le coefficient directeur. Si a est positif, la droite monte (fonction croissante). Si a est négatif, la droite descend (fonction décroissante)
b est l’ordonnée à l’origine. C’est la valeur par laquelle passe la droite sur l’axe des ordonnées. Dans l’exemple ci-dessous l’ordonnée à l’origine est +5. La fonction sera de la forme ax+5.

Dans l’exemple ci-dessus. Je vois qu’il s’agit d’une fonction affine, car c’est une droite qui ne passe pas par 0. Je sais que a le coefficient directeur est positif, car la droite monte. Mais quelle est la valeur de a ? Comment calculer le coefficient directeur de cette droite ?

Calcul du coefficient directeur d’une droite

Je dessine un triangle rectangle. Je divise la hauteur par la largeur. On voit dans l’exemple ci-dessous que j’ai une hauteur de 4, et une largeur de 2. 4/2=2

Remarque fondamentale : Vous avez le choix de prendre les dimensions du triangle qui vous font plaisir. Le seul conseil qu’on suivra, c’est de prendre des nombres entiers pour avoir la valeur la plus précise possible.

Tangente à un cercle, tangente à une courbe

La tangente à un cercle est la droite qui coupe le cercle en un seul point.

Par extension la tangente à une courbe sera la droite qui coupera la courbe de la façon suivante.

Sur le schéma précédent j’ai tracé la tangente à la courbe en x=-0.25 et en x=0.42. Il s’agit de droite qui vont couper aux points de contacts respectifs x=-0.25 et x=0.42. Si on me demande la tangente en x=4, alors je trace la droite qui coupe la courbe au point d’abscisse x=4.

Coefficient directeur de la tangente et nombre dérivé.

Par définition. Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x0, est égal au coefficient directeur de la tangente en x0.

Dans l’exemple précédent cela signifie que f'(-0.25) est égal au coefficient directeur de la tangente en -0.25 et f'(0.4) est égal au coefficient directeur de la tangente en 0.42. En reprenant les explications précédentes.

Il apparait que f'(-0.25)=-5/8 et que f'(0.42)=6/5

Attention. La valeur du coefficient directeur est négatif, car on lit 5 du haut vers le bas donc -5. C’est de plus logique car la droite descend, donc le coefficient directeur est négatif.

Nombre dérivé égal à 0 pour le minimum et pour le maximum

En première, lorsque l’on étudie la dérivée, on le fait pour les fonctions polynômes. L’une des définitions importantes, c’est de dire que lorsque la dérivée est égale à 0, la fonction est au minimum ou au maximum. Traçons pour la courbe précédente, la tangente au minimum et au maximum

Pour le minimum et le maximum, les tangentes sont horizontales ce qui veut dire que le coefficient directeur est égal à 0. Comme le nombre dérivé est égal au coefficient directeur, alors au maximum et au minimum, le nombre dérivé est nul. La dérivée est nulle au minimum et au maximum. D’après le graphique j’en déduis que f'(-0.85)=0 et que f'(0)=0.

Ce que je dois retenir

Le coefficient directeur de la tangente est égal au nombre dérivé d’une valeur.
Le nombre dérivé est nul pour le maximum et pour le minimum
Si la fonction est croissante sur un intervalle, les nombres dérivés sont positifs sur cet intervalle.
Si la fonction est décroissante sur un intervalle, les nombres dérivés sont négatifs sur cet intervalle.

Maintenant que vous êtes au point, vous pouvez vous entraîner avec les annales de BAC.